Calcule as derivadas parciais das funçōes nos pontos pedidos.
f(x, y)=x y x^2-y^2x^2+y^2,(x, y) neq(0,0) e f(0,0)=0,(x, y)=(0,0)

Passo 1

Temos a função fcolonR^2toR definida por
f(x,y)=x yx^2-y^2x^2+y^2,(x,y)neq(0,0), f(0,0)=0
Queremos calcular as derivadas parciais fx(0,0) e fy(0,0) usando a definição via limites.

Passo 2

Para calcular fx(0,0), usamos a definição:
fx(0,0)=limhto0f(0+h,0)-f(0,0)h
Aqui f(h,0)=hcdot0cdoth^2-0h^2+0=0 e f(0,0)=0, então o quociente fica 0/h.

Passo 3

Logo,
fx(0,0)=limhto00h=0
Portanto fx(0,0)=0.

Passo 4

De modo análogo, para fy(0,0) temos:
fy(0,0)=limhto0f(0,0+h)-f(0,0)h
Como f(0,h)=0cdot hcdot0-h^20+h^2=0, o quociente também é 0/h.

Passo 5

Logo,
fy(0,0)=limhto00h=0
Portanto fy(0,0)=0.

Resposta

fx(0,0)=0, fy(0,0)=0

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