Calcule a Transformada de Fourier de:
(1) f(x)=sen x cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a Transformada de Fourier de f(x)=sin xcos2x. Vamos usar a definição padrão
Ff(x)(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx
e as propriedades de linearidade e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, simplificamos sin xcos2x usando a identidade de produto para soma:
sin Acos B=tfrac12l(sin(A+B)+sin(A-B)r)
Logo,
sin xcos2x=tfrac12l(sin3x+sin(-x)r)=tfrac12l(sin3x-sin xr)

Passo 3

Em seguida, recordamos que a Transformada de Fourier de sin(a x) é dada por
Fsin(a x)(omega)=ipil[de
onde de é a distribuição delta de Dirac.

Passo 4

Agora aplicamos a linearidade da transformada a
f(x)=tfrac12sin3x-tfrac12sin x:
Ff(omega)=tfrac12,Fsin3x(omega)-tfrac12,Fsin x(omega)
Substituindo cada termo,
Ff(omega)=tfrac12l[ipi(de

Passo 5

Por fim, reunimos os termos semelhantes para obter a forma final da Transformada:

Passo 6

Resposta final:

Passo 7

Fsin xcos2x(omega)=tfracipi2l[de

Resposta

Fsin xcos2x(omega)=ipi2l[de

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