Calcule a Transformada de Fourier de:
(2) f(x)=x e^2 x sen(6 x)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier bilateral de f(x)=x e^{2x} sen(6x). O conteúdo aqui é a definição da transformada de Fourier e a condição de existência (integrabilidade absoluta), além da propriedade que relaciona multiplicação por x com derivação em frequência.

Passo 2

Para a transformada de Fourier bilateral existir de forma clássica, precisamos que f(x) seja absolutamente integrável, ou seja, que integral-infty^infty |f(x)|,dx. Note que |f(x)|=|x|,e^2x,|sin(6x)|. Como |sin(6x)|<=1, temos |f(x)|<= |x|e^2x.

Passo 3

Vamos examinar o comportamento em +infty: |x|e^2x cresce exponencialmente e não é integrável sobre [0,infty), pois integral0^infty x e^2x,dx=infty. Logo a integral da transformada diverge nessa região.

Passo 4

Como a condição de integrabilidade absoluta falha em +infty, a transformada de Fourier bilateral de f(x) não converge de forma clássica.

Resposta

A transformada de Fourier bilateral de f(x)=x e^{2x},\sin(6x) não existe (não converge).

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