Calcule a Transformada de Laplace Inversa de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de
f(t)=
f(t)=
Na prática, como a transformada de Laplace só usa t≥0, temos f(t)=1−t² para t∈[0,1] e zero para t>1. O conteúdo é transformada de Laplace de função limitada no tempo e vamos precisar usar a definição por integral e técnicas de integração por partes.
Passo 2
A definição da transformada de Laplace é
Como f(t)=0 para t>1, podemos escrever
Passo 3
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 4
Primeiro, calculemos
Usando a primitiva de e^{-st}, temos
Passo 5
Agora, calculemos
Fazemos integração por partes duas vezes:
- 1ª integração por partes: u=t², dv=e^{-st}dt → du=2t dt, v=-e^{-st}/s, logo
onde . - 2ª integração por partes em B: u=t, dv=e^{-st}dt → du=dt, v=-e^{-st}/s, então
Substituindo em A:
Passo 6
Agora montamos
Separando termos com e sem e^{-s} e simplificando, obtemos