Calcule a Transformada de Laplace Inversa de:
f(t)=rrr 1-t^2, & |t| <= 1 0 & |t|>1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de
f(t)=
1 - t^2, & |t| <= 1 0, & |t|>1
Na prática, como a transformada de Laplace só usa t≥0, temos f(t)=1−t² para t∈[0,1] e zero para t>1. O conteúdo é transformada de Laplace de função limitada no tempo e vamos precisar usar a definição por integral e técnicas de integração por partes.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace é
F(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
Como f(t)=0 para t>1, podemos escrever
F(s)=integral0^1(1 - t^2)e^-st,dt .

Passo 3

Vamos separar essa integral em duas partes:
F(s)=integral0^1e^-st,dt;- integral0^1t^2e^-st,dt .

Passo 4

Primeiro, calculemos
integral0^1e^-st,dt
Usando a primitiva de e^{-st}, temos
integral0^1e^-st,dt=l[-1se^-str]0^1 =1s(1 - e^-s) .

Passo 5

Agora, calculemos
A=integral0^1t^2e^-st,dt
Fazemos integração por partes duas vezes:
  • 1ª integração por partes: u=t², dv=e^{-st}dt → du=2t dt, v=-e^{-st}/s, logo A=l[-t^2se^-str]0^1+2sintegral0^1t e^-stdt =-e^-ss+2sB onde B=integral0^1t e^-stdt .
  • 2ª integração por partes em B: u=t, dv=e^{-st}dt → du=dt, v=-e^{-st}/s, então B=l[-tse^-str]0^1+1sintegral0^1e^-stdt =-e^-ss+1scdot1 - e^-ss =-e^-ss+1 - e^-ss^2
Substituindo em A:
A=-e^-ss+2sl(-e^-ss+1 - e^-ss^2r) =2s^3-e^-sl(1s+2s^2+2s^3r) .

Passo 6

Agora montamos
F(s)=1 - e^-ss-A =1 - e^-ss-l[2s^3-e^-sl(1s+2s^2+2s^3r)r]
Separando termos com e sem e^{-s} e simplificando, obtemos
F(s)=1s-2s^3+e^-sl(2s^2+2s^3r)

Resposta

F(s)=1s-2s^3+e^-sl(2s^2+2s^3r)

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