Determine as derivadas parciais das funções:
f)
f)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar as derivadas parciais de
, ou seja:
-
; -
.
As informações relevantes: a função é soma de termos monomiais em
e
; ao derivar parcialmente em relação a uma variável, a outra é tratada como constante.
Passo 2
Lembrete do conceito (definição e ideia prática).
- A derivada parcial de
em relação a é
mantendo
fixo. Na prática para funções polinomiais/monomiais usamos regras usuais de derivação tratando
como constante.
- Regras que usaremos:
- Regra da linearidade:
. - Constante vezes função: se
é constante (pode depender de quando derivando em ), então . - Regra do expoente (power rule):
para qualquer . Aplicamos isso a termos como tratando coeficientes que contêm como constantes.
- Regra da linearidade:
Passo 3
Vamos calcular
. Reescrevo cada termo destacando o fator que depende de
:
Agora aplico a derivada em
termo a termo (lembrando que
é constante nesse processo).
Termo 1:
. Aqui
é constante (em relação a
), e aplicando a regra do expoente:
Termo 2:
. Aqui
é constante e
Termo 3:
. Derivada em relação a
é
Somando os resultados (regra da linearidade):
Se preferir uma forma com fração:
Passo 4
Agora calculamos
. Reescrevo os termos destacando o que depende de
:
Ao derivar em
,
é tratado como constante.
Termo 1:
. Aqui
é constante (em relação a
), então aplicando a regra do expoente para
:
Termo 2:
. Aqui
é constante e
Termo 3:
. Não depende de
, logo
Somando:
Também pode-se escrever como
Passo 5
Recapitulando a metodologia para usar na prova (dica prática e motivação):
- Sempre que derivar parcialmente em relação a uma variável, fixe a outra como constante.
- Para cada termo escreva claramente qual parte depende da variável que está sendo diferenciada e qual parte será tratada como constante.
- Aplique a regra do expoente e multiplique pelo coeficiente constante.
- Some termo a termo (linearidade).
Vai dar certo — faça um ou dois exercícios parecidos para ganhar confiança; é sempre a mesma receita.