Determine as derivadas parciais das funções:
f) f(x, y)=6 x^{-3} y^{2}+13 x^{2} y-2 x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=6x^{-3}y^{2}+13x^{2}y-2x
e pede para determinar as derivadas parciais de f, ou seja:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y);
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).
As informações relevantes: a função é soma de termos monomiais em x e y; ao derivar parcialmente em relação a uma variável, a outra é tratada como constante.

Passo 2

Lembrete do conceito (definição e ideia prática).
  • A derivada parcial de f em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
mantendo y fixo. Na prática para funções polinomiais/monomiais usamos regras usuais de derivação tratando y como constante.
  • Regras que usaremos:
    • Regra da linearidade: \dfrac{\partial}{\partial x}(a+ b)=\dfrac{\partial a}{\partial x}+\dfrac{\partial b}{\partial x}.
    • Constante vezes função: se c é constante (pode depender de y quando derivando em x), então \dfrac{\partial}{\partial x}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x).
    • Regra do expoente (power rule): \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} para qualquer n\in\mathbb{R}. Aplicamos isso a termos como x^m tratando coeficientes que contêm y como constantes.

Passo 3

Vamos calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}. Reescrevo cada termo destacando o fator que depende de x:
f(x,y)=6y^{2}x^{-3}+13y\,x^{2}-2x.
Agora aplico a derivada em x termo a termo (lembrando que y é constante nesse processo).
Termo 1: 6y^{2}x^{-3}. Aqui 6y^{2} é constante (em relação a x), e aplicando a regra do expoente:
\frac{\partial}{\partial x}\big(6y^{2}x^{-3}\big)=6y^{2}\cdot(-3)x^{-4}=-18y^{2}x^{-4}.
Termo 2: 13y\,x^{2}. Aqui 13y é constante e
\frac{\partial}{\partial x}\big(13y\,x^{2}\big)=13y\cdot 2x=26xy.
Termo 3: -2x. Derivada em relação a x é
\frac{\partial}{\partial x}(-2x)=-2.
Somando os resultados (regra da linearidade):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-18y^{2}x^{-4}+26xy-2.
Se preferir uma forma com fração:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-\dfrac{18y^{2}}{x^{4}}+26xy-2.

Passo 4

Agora calculamos \dfrac{\partial f}{\partial y}. Reescrevo os termos destacando o que depende de y:
f(x,y)=6x^{-3}y^{2}+13x^{2}y-2x.
Ao derivar em y, x é tratado como constante.
Termo 1: 6x^{-3}y^{2}. Aqui 6x^{-3} é constante (em relação a y), então aplicando a regra do expoente para y^{2}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(6x^{-3}y^{2}\big)=6x^{-3}\cdot 2y=12x^{-3}y.
Termo 2: 13x^{2}y. Aqui 13x^{2} é constante e
\frac{\partial}{\partial y}\big(13x^{2}y\big)=13x^{2}.
Termo 3: -2x. Não depende de y, logo
\frac{\partial}{\partial y}(-2x)=0.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=12x^{-3}y+13x^{2}.
Também pode-se escrever como
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{12y}{x^{3}}+13x^{2}.

Passo 5

Recapitulando a metodologia para usar na prova (dica prática e motivação):
  • Sempre que derivar parcialmente em relação a uma variável, fixe a outra como constante.
  • Para cada termo escreva claramente qual parte depende da variável que está sendo diferenciada e qual parte será tratada como constante.
  • Aplique a regra do expoente e multiplique pelo coeficiente constante.
  • Some termo a termo (linearidade).
    Vai dar certo — faça um ou dois exercícios parecidos para ganhar confiança; é sempre a mesma receita.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-18y^{2}x^{-4}+26xy-2
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=12x^{-3}y+13x^{2}

Exercícios relacionados