Determine as derivadas parciais das funções:
f(x, y)=ln raizx^2+y^2+x y e^raiz2 x^3-y x

Passo 1

Na questão, temos a função f(x,y)=ln raizx^2+y^2+x y e^raiz2x^3-xy. O conteúdo é derivada parcial, e vamos usar a derivada de ln, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Para o termo ln raizx^2+y^2=tfrac12ln(x^2+y^2), usamos dduln u=1/u e ddx(x^2+y^2)=2x. Logo, partialpartial xl(tfrac12ln(x^2+y^2)r)=12cdot2xx^2+y^2=xx^2+y^2 e similarmente partialpartial yl(tfrac12ln(x^2+y^2)r)=yx^2+y^2.

Passo 3

Para partial fpartial x do termo xy e^raiz2x^3-xy, aplicamos a regra do produto: derivada de xy em relação a x é y, dando y e^raiz2x^3-xy. Depois somamos xy vezes a derivada de e^g(x,y) com g=raiz2x^3-xy. Pela cadeia, partial gpartial x=12raiz2x^3-xy(6x^2-y). Assim,
partialpartial xl(xy e^raiz2x^3-xyr)=y e^raiz2x^3-xy+xy e^raiz2x^3-xy6x^2-y2raiz2x^3-xy

Passo 4

Para partial fpartial y do mesmo termo, derivada de xy em relação a y é x, dando x e^raiz2x^3-xy. Depois somamos xy vezes e^g vezes partial gpartial y=12raiz2x^3-xy(-x). Logo,
partialpartial yl(xy e^raiz2x^3-xyr)=x e^raiz2x^3-xy-x^2y e^raiz2x^3-xy12raiz2x^3-xy

Passo 5

Por fim, juntamos tudo:
partial fpartial x=xx^2+y^2+y e^raiz2x^3-xy+xy e^raiz2x^3-xy6x^2-y2raiz2x^3-xy,
partial fpartial y=yx^2+y^2+x e^raiz2x^3-xy-x^2y e^raiz2x^3-xy12raiz2x^3-xy

Resposta

As derivadas parciais são: partial fpartial x=xx^2+y^2+y e^raiz2x^3-xy+xy e^raiz2x^3-xy6x^2-y2raiz2x^3-xy e partial fpartial y=yx^2+y^2+x e^raiz2x^3-xy-x^2y e^raiz2x^3-xy12raiz2x^3-xy.

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