Seja
a superfície
e
a reta normal a
passando pelo ponto
.
A reta
passa pelo ponto
? Se sim, para qual valor do parâmetro?
A reta
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o ponto P₂=(5,−5,5) pertence à reta normal à superfície S dada por z=3−x²−y² no ponto P₀=(1,−1,1). O conteúdo aqui é reta normal a uma superfície, que obtemos via gradiente de F(x,y,z)=z−3+x²+y², e vamos usar isso para escrever a equação paramétrica de r.
Passo 2
Para achar a reta normal, definimos a função implícita F(x,y,z)=z−3+x²+y². O vetor normal à superfície em qualquer ponto é dado por ∇F(x,y,z).
Calculamos o gradiente em P₀:
Calculamos o gradiente em P₀:
Passo 3
Escrevemos a reta normal r passando por P₀ com parâmetro t:
Em componentes: x=1+2t, y=−1−2t, z=1+t.
Passo 4
Agora impomos r(t)=P₂, ou seja:
- Pela coordenada x: 1+2t=5 ⇒ t=2.
- Pela coordenada y: −1−2t=−5 ⇒ t=2.
- Pela coordenada z: 1+t=5 ⇒ t=4.
Como não há um único t que satisfaça simultaneamente as três igualdades, concluímos que P₂ não está na reta normal r.
Resposta
Não, a reta normal r não passa por P₂, pois não existe um valor de t que satisfaça simultaneamente as três coordenadas.