(3,0) Seja S a superfície z=3-x^2-y^2, P0=(1,-1,1) e r a reta normal a S passando pelo ponto P0.
A reta r passa pelo ponto P2=(5,-5,5) ? Se sim, para qual valor do parâmetro?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o ponto P₂=(5,−5,5) pertence à reta normal à superfície S dada por z=3−x²−y² no ponto P₀=(1,−1,1). O conteúdo aqui é reta normal a uma superfície, que obtemos via gradiente de F(x,y,z)=z−3+x²+y², e vamos usar isso para escrever a equação paramétrica de r.

Passo 2

Para achar a reta normal, definimos a função implícita F(x,y,z)=z−3+x²+y². O vetor normal à superfície em qualquer ponto é dado por ∇F(x,y,z).
Calculamos o gradiente em P₀:
∇F(1,−1,1)=(2·1,2·(−1),1)=(2,−2,1)

Passo 3

Escrevemos a reta normal r passando por P₀ com parâmetro t:
r(t)=P₀+t∇F(P₀)=(1,−1,1)+t(2,−2,1)
Em componentes: x=1+2t, y=−1−2t, z=1+t.

Passo 4

Agora impomos r(t)=P₂, ou seja:
  • Pela coordenada x: 1+2t=5 ⇒ t=2.
  • Pela coordenada y: −1−2t=−5 ⇒ t=2.
  • Pela coordenada z: 1+t=5 ⇒ t=4.
    Como não há um único t que satisfaça simultaneamente as três igualdades, concluímos que P₂ não está na reta normal r.

Resposta

Não, a reta normal r não passa por P₂, pois não existe um valor de t que satisfaça simultaneamente as três coordenadas.

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