Calcule as derivadas parciais das funções nos pontos pedidos.
f(x, y)=x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) e f(0,0)=0,(x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)= \begin{cases} x y \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede as derivadas parciais no ponto (x,y)=(0,0).
Informações relevantes que tenho:
  • Para qualquer ponto com y=0 e x\neq0 vale \;f(x,0)=0 (pois existe fator y no numerador).
  • Para qualquer ponto com x=0 e y\neq0 vale \;f(0,y)=0 (pois existe fator x no numerador).
  • A definição das derivadas parciais no ponto (0,0) será usada explicitamente.]

Passo 2

Recordando a definição (essa é a arma principal): a derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0) é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}.
Isto significa: varia-se apenas x (por h), mantendo y=0 fixo, e mede-se a taxa de variação. Analogamente,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k},
onde varia-se apenas y.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) pelo limite na definição.
Para h\neq0 temos f(h,0)=h\cdot 0\cdot\dfrac{h^{2}-0^{2}}{h^{2}+0^{2}}=0. Também f(0,0)=0. Logo
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0
para todo h\neq0. Assim o limite é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}0=0.
Interpretando: mover no eixo x (com y=0) não muda f na vizinhança do origin, logo derivada parcial é zero.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) pelo limite na definição.
Para k\neq0 temos f(0,k)=0 (pois x=0 anula o numerador). Então
\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{0-0}{k}=0
para todo k\neq0. Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to0}0=0.

Passo 5

(Aula curta sobre derivação para pontos fora da origem e consistência.)
Se quiser a expressão das derivadas parciais em pontos (x,y)\neq(0,0), pode-se reescrever
f(x,y)=\frac{x^{3}y-x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{N(x,y)}{D(x,y)},
onde N(x,y)=x^{3}y-x y^{3} e D(x,y)=x^{2}+y^{2}. Aplicando a regra do quociente (derivando N e D tratando a variável restante como constante) obtém-se, após simplificação:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{y\bigl(x^{4}+4x^{2}y^{2}-y^{4}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x\bigl(x^{4}-4x^{2}y^{2}-y^{4}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
válidas para (x,y)\neq(0,0). Note que, ao aproximar (x,y)\to(0,0), os numeradores têm ordem homogênea 5 em x,y enquanto o denominador tem ordem 4, portanto essas expressões vão a 0 quando (x,y)\to(0,0). Isso confirma que as derivadas parciais encontradas por definição em (0,0) (passos anteriores) coincidem com os limites das fórmulas gerais, ou seja, são consistentes.

Passo 6

Resumo do raciocínio e incentivo: usando a definição direta nas direções coordenadas mostrou-se que tanto variar x com y=0 quanto variar y com x=0 deixam f nulo, de modo que as diferenças incrementais são zero. As fórmulas gerais para (x,y)\neq(0,0) também tendem a zero quando (x,y)\to(0,0), então não há contradição.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0
\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0

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