(Aula curta sobre derivação para pontos fora da origem e consistência.)
Se quiser a expressão das derivadas parciais em pontos (x,y)\neq(0,0), pode-se reescrever
onde N(x,y)=x^{3}y-x y^{3} e D(x,y)=x^{2}+y^{2}. Aplicando a regra do quociente (derivando N e D tratando a variável restante como constante) obtém-se, após simplificação:
válidas para (x,y)\neq(0,0). Note que, ao aproximar (x,y)\to(0,0), os numeradores têm ordem homogênea 5 em x,y enquanto o denominador tem ordem 4, portanto essas expressões vão a 0 quando (x,y)\to(0,0). Isso confirma que as derivadas parciais encontradas por definição em (0,0) (passos anteriores) coincidem com os limites das fórmulas gerais, ou seja, são consistentes.
Passo 6
Resumo do raciocínio e incentivo: usando a definição direta nas direções coordenadas mostrou-se que tanto variar x com y=0 quanto variar y com x=0 deixam f nulo, de modo que as diferenças incrementais são zero. As fórmulas gerais para (x,y)\neq(0,0) também tendem a zero quando (x,y)\to(0,0), então não há contradição.