Para um conduto de ferro fundido novo
de comprimento igual a 1000 m , diâmetro de 250 mm , com distribuição uniforme ao longo do percurso, pede-se calcular a perda de carga contínua.
(a) caso a vazão afluente seja
e a efluente nula. (Resposta:
)
(a) caso a vazão afluente seja
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (peguei todos os números do enunciado):
- Comprimento do conduto:
. - Diâmetro:
. - Conduto de ferro fundido novo com coeficiente de Hazen–Williams:
. - Há distribuição uniforme de vazão ao longo do percurso: a vazão afluente total no início é
e a vazão efluente no final é nula (ou seja, a vazão diminui linearmente de até ao longo do comprimento). - Pedido: calcular a perda de carga contínua total
ao longo do conduto para esse caso.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo).
A fórmula empírica de Hazen–Williams para perda de carga total em um trecho com vazão constante é
A fórmula empírica de Hazen–Williams para perda de carga total em um trecho com vazão constante é
onde:
-
é a perda de carga total em metros ( ); -
é o comprimento em metros ( ); -
é a vazão em metros cúbicos por segundo ( ); -
é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional, aqui ); -
é o diâmetro interno do tubo em metros ( ); - os expoentes
e são empíricos (provenientes da formulação de Hazen–Williams).
Unidade importante: a fórmula exigeem e em .
Passo 3
Como a vazão varia ao longo do conduto (distribuição uniforme):
- Por hipótese a vazão afluente total no começo é
e no final é , com entrada uniforme ao longo do comprimento. Assim, a vazão em uma seção a uma distância da entrada é
ou seja, decresce linearmente de
(em
) até
(em
).
Passo 4
Montando a expressão para perda de carga total com vazão variável:
- Para um elemento infinitesimal de comprimento
a perda de carga diferencial é, pela fórmula de Hazen–Williams aplicada localmente,
- Integrando ao longo de
,
- Substituindo
e fazendo a mudança de variável (portanto ), obtemos
- A integral é uma integral simples de potência:
- Logo surge uma relação prática muito útil: a perda de carga para vazão que decresce linearmente de
a zero é igual à perda de carga calculada para vazão constante multiplicada por . Em fórmula:
Passo 5
Conversão de unidades e dados numéricos:
-
. -
. -
, .
Vou calcular primeiro a perda para vazão constante
(denotarei por
) usando a fórmula padrão, e depois aplicar o fator
.
Passo 6
Cálculos numéricos (mostrando os passos principais):
- Calcular
. Usando logaritmos ou calculadora:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Montando
:
- Calculemos numerador e denominador separadamente:
- Numerador:
. - Denominador:
.
- Numerador:
- Portanto
Passo 7
Aplicando o fator devido à vazão decrescente (integração feita no Passo 4):
- O fator é
. - Assim
Arredondando conforme a resposta dada no enunciado, obtemos
.