Para um conduto de ferro fundido novo (\mathrm{C}=120) de comprimento igual a 1000 m , diâmetro de 250 mm , com distribuição uniforme ao longo do percurso, pede-se calcular a perda de carga contínua.
(a) caso a vazão afluente seja 50 \mathrm{l} / \mathrm{s} e a efluente nula. (Resposta: \mathrm{hf}=1,78 \mathrm{~m} )

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (peguei todos os números do enunciado):
  • Comprimento do conduto: L=1000\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro: D=250\\ \mathrm{mm}=\;0{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Conduto de ferro fundido novo com coeficiente de Hazen–Williams: C=120.
  • Há distribuição uniforme de vazão ao longo do percurso: a vazão afluente total no início é Q_{in}=50\\ \mathrm{L/s} e a vazão efluente no final é nula (ou seja, a vazão diminui linearmente de 50\\ \mathrm{L/s} até 0 ao longo do comprimento).
  • Pedido: calcular a perda de carga contínua total h_f ao longo do conduto para esse caso.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo).
A fórmula empírica de Hazen–Williams para perda de carga total em um trecho com vazão constante é
h_f = 10{,}67\;\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}871}},
onde:
  • h_f é a perda de carga total em metros ( \mathrm{m});
  • L é o comprimento em metros ( \mathrm{m});
  • Q é a vazão em metros cúbicos por segundo ( \mathrm{m^3/s});
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional, aqui 120);
  • D é o diâmetro interno do tubo em metros ( \mathrm{m});
  • os expoentes 1{,}852 e 4{,}871 são empíricos (provenientes da formulação de Hazen–Williams).
    Unidade importante: a fórmula exige Q em \mathrm{m^3/s} e D em \mathrm{m}.

Passo 3

Como a vazão varia ao longo do conduto (distribuição uniforme):
  • Por hipótese a vazão afluente total no começo é Q_{in} e no final é 0, com entrada uniforme ao longo do comprimento. Assim, a vazão em uma seção a uma distância x da entrada é
Q(x)=Q_{in}\Big(1-\frac{x}{L}\Big),
ou seja, decresce linearmente de Q_{in} (em x=0) até 0 (em x=L).

Passo 4

Montando a expressão para perda de carga total com vazão variável:
  • Para um elemento infinitesimal de comprimento dx a perda de carga diferencial é, pela fórmula de Hazen–Williams aplicada localmente,
dh_f = 10{,}67\;\frac{Q(x)^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}871}}\;dx.
  • Integrando ao longo de x\in[0,L],
h_f = 10{,}67\;\frac{1}{C^{1{,}852}D^{4{,}871}}\int_{0}^{L} Q(x)^{1{,}852}\,dx.
  • Substituindo Q(x)=Q_{in}\big(1-\tfrac{x}{L}\big) e fazendo a mudança de variável u=\tfrac{x}{L} (portanto dx=L\,du), obtemos
h_f = 10{,}67\;\frac{L\,Q_{in}^{1{,}852}}{C^{1{,}852}D^{4{,}871}}\int_{0}^{1}(1-u)^{1{,}852}\,du.
  • A integral é uma integral simples de potência:
\int_{0}^{1}(1-u)^{1{,}852}\,du=\left[\frac{(1-u)^{1{,}852+1}}{-(1{,}852+1)}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{1+1{,}852}=\frac{1}{2{,}852}.
  • Logo surge uma relação prática muito útil: a perda de carga para vazão que decresce linearmente de Q_{in} a zero é igual à perda de carga calculada para vazão constante Q_{in} multiplicada por 1/(1+1{,}852). Em fórmula:
h_f = \frac{1}{1+1{,}852}\cdot\Bigg(10{,}67\;\frac{L\,Q_{in}^{1{,}852}}{C^{1{,}852}D^{4{,}871}}\Bigg).

Passo 5

Conversão de unidades e dados numéricos:
  • Q_{in}=50\\ \mathrm{L/s}=0{,}05\\ \mathrm{m^3/s}.
  • D=250\\ \mathrm{mm}=0{,}25\\ \mathrm{m}.
  • L=1000\\ \mathrm{m}, C=120.
Vou calcular primeiro a perda para vazão constante Q_{in} (denotarei por h_{f,\text{const}}) usando a fórmula padrão, e depois aplicar o fator 1/(1+1{,}852)=1/2{,}852.

Passo 6

Cálculos numéricos (mostrando os passos principais):
  • Calcular Q_{in}^{1{,}852}. Usando logaritmos ou calculadora:
Q_{in}^{1{,}852}=(0{,}05)^{1{,}852}\approx 0{,}00389.
  • Calcular C^{1{,}852}:
C^{1{,}852}=(120)^{1{,}852}\approx 7{,}07\times10^{3}.
  • Calcular D^{4{,}871}:
D^{4{,}871}=(0{,}25)^{4{,}871}\approx 1{,}162\times10^{-3}.
  • Montando h_{f,\text{const}}:
h_{f,\text{const}}=10{,}67\;\frac{L\,Q_{in}^{1{,}852}}{C^{1{,}852}D^{4{,}871}} =10{,}67\;\frac{1000\cdot 0{,}00389}{7{,}07\times10^{3}\cdot 1{,}162\times10^{-3}}.
  • Calculemos numerador e denominador separadamente:
    • Numerador: 10{,}67\cdot 1000\cdot 0{,}00389\approx 41{,}45.
    • Denominador: 7{,}07\times10^{3}\cdot 1{,}162\times10^{-3}\approx 8{,}22.
  • Portanto
h_{f,\text{const}}\approx \frac{41{,}45}{8{,}22}\approx 5{,}04\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Aplicando o fator devido à vazão decrescente (integração feita no Passo 4):
  • O fator é 1/(1+1{,}852)=1/2{,}852.
  • Assim
h_f = \frac{h_{f,\text{const}}}{2{,}852}\approx \frac{5{,}04}{2{,}852}\approx 1{,}77\\ \mathrm{m}.
Arredondando conforme a resposta dada no enunciado, obtemos h_f\approx 1{,}78\\ \mathrm{m}.

Resposta

h_f = 1{,}78\\ \mathrm{m}

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