Calcule as derivadas parciais das funções nos pontos pedidos.
f(x, y)=\ln \left(\frac{x}{y}\right),(1,1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f no ponto indicado. Informações fornecidas:
  • Função: f(x,y)=\ln\!\left(\frac{x}{y}\right).
  • Ponto onde avaliar: (1,1).
    Perguntas a responder:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,1).
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1).

Passo 2

Conceito e definição: a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x_0,y_0) é a taxa de variação de f quando apenas x varia e y fica fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}.
De forma análoga, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}.
Na prática usamos regras de derivação (cadeia, logaritmo, etc.) tratando a outra variável como constante.

Passo 3

Verificação do domínio no ponto: a expressão \ln\!\left(\dfrac{x}{y}\right) exige \dfrac{x}{y}>0. No ponto (1,1) temos \dfrac{1}{1}=1>0, portanto o ponto está no domínio e as derivadas existem localmente.

Passo 4

Simplificação útil: usar propriedade dos logaritmos para separar as variáveis,
f(x,y)=\ln\!\left(\frac{x}{y}\right)=\ln x - \ln y,
válido sempre que \dfrac{x}{y}>0. Essa forma facilita porque cada termo depende de uma única variável.

Passo 5

Derivada parcial em relação a x: mantendo y fixo, \ln y é constante e \ln x tem derivada 1/x. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{d}{dx}(\ln x)-0=\frac{1}{x}.
Explicando a regra usada: a derivada de \ln u em relação a u é \dfrac{1}{u}. Aqui u=x, então \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}.

Passo 6

Derivada parcial em relação a y: mantendo x fixo, \ln x é constante e \ln y tem derivada 1/y. Como aparece com sinal negativo,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0-\frac{d}{dy}(\ln y)=-\frac{1}{y}.
Se preferir ver pelo cálculo direto com regra da cadeia: \dfrac{d}{dy}\ln\!\left(\dfrac{x}{y}\right)=\dfrac{1}{x/y}\cdot\frac{d}{dy}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{x/y}\cdot\left(-\frac{x}{y^2}\right)=-\frac{1}{y}.

Passo 7

Avaliação no ponto (1,1): substituindo x=1 e y=1,
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=\frac{1}{1}=1, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=-\frac{1}{1}=-1.
Interpretação breve: variando x com y fixo, f cresce com inclinação 1; variando y com x fixo, f decresce com inclinação -1. Força na motivação: você pode decorar que \ln(x/y)=\ln x-\ln y e derivar direto — isso resolve rápido na prova.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,1)=1
\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1)=-1

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