Calcule as derivadas parciais das funções nos pontos pedidos.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
no ponto indicado. Informações fornecidas:
- Função:
. - Ponto onde avaliar:
.
Perguntas a responder: - Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Conceito e definição: a derivada parcial de
em relação a
no ponto
é a taxa de variação de
quando apenas
varia e
fica fixo. Formalmente,
De forma análoga, a derivada parcial em relação a
é
Na prática usamos regras de derivação (cadeia, logaritmo, etc.) tratando a outra variável como constante.
Passo 3
Verificação do domínio no ponto: a expressão
exige
. No ponto
temos
, portanto o ponto está no domínio e as derivadas existem localmente.
Passo 4
Simplificação útil: usar propriedade dos logaritmos para separar as variáveis,
válido sempre que
. Essa forma facilita porque cada termo depende de uma única variável.
Passo 5
Derivada parcial em relação a
: mantendo
fixo,
é constante e
tem derivada
. Portanto
Explicando a regra usada: a derivada de
em relação a
é
. Aqui
, então
.
Passo 6
Derivada parcial em relação a
: mantendo
fixo,
é constante e
tem derivada
. Como aparece com sinal negativo,
Se preferir ver pelo cálculo direto com regra da cadeia:
.
Passo 7
Avaliação no ponto
: substituindo
e
,
Interpretação breve: variando
com
fixo,
cresce com inclinação
; variando
com
fixo,
decresce com inclinação
. Força na motivação: você pode decorar que
e derivar direto — isso resolve rápido na prova.