Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
f(x, y)=\sqrt{x{2}+y{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função
f(x,y)=raizx^2+y^2
O conteúdo aqui é derivada parcial de função de duas variáveis e uso da regra da cadeia.

Passo 2

Para obter partial fpartial x escrevemos
f(x,y)=(x^2+y^2)^tfrac12
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de u^tfrac12 em relação a u é tfrac12u^-tfrac12 e depois derivamos u=x^2+y^2 em relação a x, que dá 2x. Logo,
partial fpartial x =12,(x^2+y^2)^-tfrac12cdot 2x =xraizx^2+y^2

Passo 3

Para partial fpartial y o raciocínio é análogo: mantemos f(x,y)=(x^2+y^2)^tfrac12, usamos a regra da cadeia e a derivada de x^2+y^2 em relação a y é 2y. Assim,
partial fpartial y =12,(x^2+y^2)^-tfrac12cdot 2y =yraizx^2+y^2

Passo 4

Essas fórmulas só fazem sentido quando x^2+y^2neq0, pois no ponto (0,0) o denominador vira zero e a função deixa de ser diferenciável ali.

Resposta

partial fpartial x(x,y)=xraizx^2+y^2, partial fpartial y(x,y)=yraizx^2+y^2, (x,y)neq(0,0)

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