Resolva as Equações Diferenciais:
y^prime prime-4 y=(x^2-3) sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea
y'' - 4y = (x^2 - 3)sin 2x
O conteúdo principal é usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular e somar à solução geral da parte homogênea.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada
y'' - 4y = 0
A equação característica é
r^2 - 4 = 0Longrightarrow r = pm 2
Logo a solução geral da parte homogênea é
yh(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x

Passo 3

Como o termo não homogêneo é (x^2 - 3)sin 2x, propomos uma solução particular da forma
yp(x) = l(a x^2 + b x + cr)sin 2x + l(d x^2 + e x + fr)cos 2x,
onde a,b,c,d,e,f são constantes a determinar.

Passo 4

Calculando yp'' - 4yp (fazendo dois diferenciais e subtraindo 4yp) obtém-se, após agrupar termos,
yp'' - 4yp = A(x),sin 2x ;+; B(x),cos 2x,
com
A(x) = -8a,x^2 +(-8d -8b),x + (2a -4e -8c),
B(x) = -8d,x^2 + (8a -8e),x + (2d +4b -8f)
Como queremos
yp'' - 4yp = (x^2 - 3)sin 2x + 0cos 2x,
devemos impor
A(x) = x^2 - 3, B(x) = 0

Passo 5

Igualando coeficientes de x^2, x e termo independente em cada polinômio, obtemos o sistema
-8a = 1, -8d -8b = 0, 2a -4e -8c = -3,
-8d = 0, 8a -8e = 0, 2d +4b -8f = 0

Passo 6

Resolvendo em ordem:
-8a=1;Rightarrow;a=-tfrac18, -8d=0;Rightarrow;d=0,
8a-8e=0;Rightarrow;e=a=-tfrac18, -8d-8b=0;Rightarrow;b=-d=0,
2d+4b-8f=0;Rightarrow;f=tfracb2=0, 2a-4e-8c=-3;Rightarrow;-tfrac14-4l(-tfrac18r)-8c=-3
2a-4e-8c=-3;Rightarrow;-tfrac14+tfrac12-8c=-3 ;Rightarrow;tfrac14-8c=-3 ;Rightarrow;-8c=-tfrac134 ;Rightarrow;c=tfrac1332

Passo 7

Substituindo esses valores em yp, obtemos
yp(x) = l(-tfrac18x^2 + tfrac1332r)sin 2x ;+;l(0cdot x^2 -tfrac18x +0r)cos 2x = l(-tfrac18x^2 + tfrac1332r)sin 2x ;-;tfrac18,xcos 2x

Passo 8

A solução geral da equação original é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x + l(-tfrac18x^2 + tfrac1332r)sin 2x - tfrac18,xcos 2x

Resposta

boxedy(x)=C1e^2x+C2e^-2x +l(-tfrac18x^2+tfrac1332r)sin2x -tfrac18,xcos2x

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