Encontre a solução para o problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
com as condições iniciais
e
. O conteúdo envolvido é a formação da equação característica e o uso das raízes dessa equação para montar a solução geral, aplicando depois as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Para montar a equação característica, substituímos
. Isso transforma a EDO em um polinômio em
:
Precisamos achar as raízes desse polinômio.
Passo 3
Resolvendo a equação
por fatoração, obtemos
Logo, as raízes são
e
. Como as raízes são reais distintas, a solução geral é
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
Em seguida, derivamos a solução geral:
e usamos
, o que dá
Passo 5
Temos o sistema
Subtraindo a primeira da segunda, vem
. Substituindo em
, obtemos
.
Passo 6
Com
e
substituídos em
, chegamos à solução que satisfaz as condições iniciais.