Encontre a solução para o problema de valor inicial:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=0 y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' + 2y = 0
com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. O conteúdo envolvido é a formação da equação característica e o uso das raízes dessa equação para montar a solução geral, aplicando depois as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Para montar a equação característica, substituímos y(x)=e^rx. Isso transforma a EDO em um polinômio em r:
r^2 - 3r + 2 = 0
Precisamos achar as raízes desse polinômio.

Passo 3

Resolvendo a equação
r^2 - 3r + 2 = 0
por fatoração, obtemos
(r-1)(r-2)=0
Logo, as raízes são r1=1 e r2=2. Como as raízes são reais distintas, a solução geral é
y(x)=C1e^x+C2e^2x .

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
y(0)=C1+C2=1
Em seguida, derivamos a solução geral:
y'(x)=C1e^x+2C2e^2x
e usamos y'(0)=0, o que dá
C1+2C2=0

Passo 5

Temos o sistema
C1 + C2 = 1, C1 + 2C2 = 0
Subtraindo a primeira da segunda, vem C2=-1. Substituindo em C1+C2=1, obtemos C1=2.

Passo 6

Com C1=2 e C2=-1 substituídos em y(x)=C1e^x+C2e^2x, chegamos à solução que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(x)=2e^x-e^2x

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