Encontre a solução para o problema de valor inicial:
y^prime prime+9 y=0 y(1)=sin (3), y^prime(1)=3 cos (3)

Passo 1

O problema é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, dada por y’’+9y=0, sujeita às condições iniciais y(1)=sin(3) e y’(1)=3cos(3). Vamos usar a equação característica para resolver.

Passo 2

Formamos a equação característica r²+9=0, de onde obtemos as raízes r=±3i. Assim a solução geral é
y(x)=Acos(3x)+Bsin(3x)

Passo 3

Calculamos a derivada
y'(x)=-3Asin(3x)+3Bcos(3x)
e aplicamos as condições em x=1, gerando o sistema
Acos(3)+Bsin(3)=sin(3), -3Asin(3)+3Bcos(3)=3cos(3)
Dividindo a segunda equação por 3 fica
- Asin(3) + Bcos(3)=cos(3)

Passo 4

Resolvendo o sistema vemos que A=0 e B=1 satisfazem ambas as equações. Portanto, a solução particular é y(x)=sin(3x).

Resposta

y(x)=sin(3x)

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