Calcule as derivadas parciais, fx e fy, das seguintes funções:
f(x, y)=arctg(y / x);

Passo 1

O exercício pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=arctg(y/x). O conteúdo envolve derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada de quociente. Para resolver, vamos introduzir uma variável intermediária e usar essas duas regras.

Passo 2

Definimos u(x,y)=y/x, então f(x,y)=arctg(u). Pela regra da cadeia temos as fórmulas gerais:
f_x = f_u \cdot u_x e f_y = f_u \cdot u_y
Além disso, a derivada de arctg(u) em relação a u é
fu = 11+u^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de u:
Para u_x tratamos y como constante e aplicamos a regra do quociente:
ux = partialpartial xl(yxr) = 0cdot x - ycdot1x^2 = -yx^2
Para u_y tratamos x como constante:
uy = partialpartial yl(yxr) = 1x

Passo 4

Substituímos f_u=1/(1+u^2), u_x=−y/x^2 e u_y=1/x em f_x e f_y e simplificamos. Primeiro note que
1+u^2 = 1 + l(yxr)^2 = x^2+y^2x^2
Logo,
$$
f_x = \frac{1}{1+u2}\cdot\Bigl(-\frac{y}{x2}\Bigr) = \frac{-y/x2}{(x2+y2)/x2} = -\frac{y}{x2+y2},
$$
fx = 11+u^2cdotl(-yx^2r) = -y/x^2(x^2+y^2)/x^2 = -yx^2+y^2,

Resposta

fx = -yx^2+y^2, fy = xx^2+y^2

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