Calcule as derivadas parciais,
e
, das seguintes funções:
;
Passo 1
O exercício pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=arctg(y/x). O conteúdo envolve derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada de quociente. Para resolver, vamos introduzir uma variável intermediária e usar essas duas regras.
Passo 2
Definimos u(x,y)=y/x, então f(x,y)=arctg(u). Pela regra da cadeia temos as fórmulas gerais:
f_x = f_u \cdot u_x e f_y = f_u \cdot u_y
Além disso, a derivada de arctg(u) em relação a u é
f_x = f_u \cdot u_x e f_y = f_u \cdot u_y
Além disso, a derivada de arctg(u) em relação a u é
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de u:
Para u_x tratamos y como constante e aplicamos a regra do quociente:
Para u_x tratamos y como constante e aplicamos a regra do quociente:
Para u_y tratamos x como constante:
Passo 4
Substituímos f_u=1/(1+u^2), u_x=−y/x^2 e u_y=1/x em f_x e f_y e simplificamos. Primeiro note que
Logo,
$$
f_x = \frac{1}{1+u2}\cdot\Bigl(-\frac{y}{x2}\Bigr) = \frac{-y/x2}{(x2+y2)/x2} = -\frac{y}{x2+y2},
$$