Nos problemas 9 e 10 determine se a equação diferencial de primeira ordem dada é linear na variável dependente indicada através da primeira equação diferencial dada em (7).
u d v+(v+u v-u e^u) d u=0;
em u

Passo 1

A questão pede para determinar se a equação diferencial u,d v + (v + u v - u e^u),d u = 0 é linear em u, considerando v como variável independente. Precisamos usar a definição de equação de primeira ordem linear em u: ela pode ser posta na forma dudv + P(v),u = Q(v).

Passo 2

Dividindo ambos os lados da diferencial por dv, obtemos
u + (v + u v - u e^u)dudv = 0

Passo 3

Isolando dudv, vem
dudv = -uv + u v - u e^u

Passo 4

Para ser linear em u, a razão dudv devia se escrever como soma de um termo P(v),u e um termo Q(v). Aqui o denominador contém u e o termo exponencial e^u, impedindo a forma linear.

Passo 5

Portanto, não é possível escrever a equação na forma dudv + P(v),u = Q(v), logo a equação não é linear em u.

Resposta

A equação diferencial não é linear em u.

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