Use o critério da raiz para mostrar que a série sumn=1^infty 12^n n^2 n converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a série sumn=1^infty 12^n n^2 n converge usando o critério da raiz.
O que é o critério da raiz? É uma ferramenta que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não. Ele diz que, para uma série sum an:
  • Se limn to infty raiz[n]|an| < 1, a série converge.
  • Se limn to infty raiz[n]|an| > 1, a série diverge.
  • Se o limite for igual a 1, o critério não nos dá informação.
Vamos usar esse critério para a série dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é an = 12^n n^2 n.
Agora, aplicamos o critério da raiz, calculando:
limn to infty raiz[n]|an| = limn to infty raiz[n]12^n n^2 n
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 3

Simplificando a expressão dentro do limite:
raiz[n]12^n n^2 n = raiz[n]1raiz[n]2^n n^2 n
Sabemos que raiz[n]1 = 1, então:
1raiz[n]2^n n^2 n

Passo 4

Agora, vamos separar os termos no denominador:
raiz[n]2^n n^2 n = raiz[n]2^n cdot raiz[n]n^2 n
Calculando cada parte:
raiz[n]2^n = 2^n cdot 1n = 2
raiz[n]n^2 n = n^2 n cdot 1n = n^2
Então, temos:
raiz[n]2^n n^2 n = 2 cdot n^2

Passo 5

Voltando à expressão original do limite:
limn to infty 12 cdot n^2 = limn to infty 12 n^2
À medida que n cresce, 2 n^2 também cresce sem limites, então o limite de 12 n^2 é 0.

Passo 6

Agora, aplicando o critério da raiz:
limn to infty raiz[n]|an| = 0
Como 0 < 1, de acordo com o critério da raiz, a série converge.

Resposta

Portanto, usando o critério da raiz, concluímos que a série sumn=1^infty 12^n n^2 n converge.

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