Use o critério da raiz para mostrar que a série
converge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a série
converge usando o critério da raiz.
O que é o critério da raiz? É uma ferramenta que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não. Ele diz que, para uma série
:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se o limite for igual a 1, o critério não nos dá informação.
Vamos usar esse critério para a série dada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é
.
Agora, aplicamos o critério da raiz, calculando:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 3
Simplificando a expressão dentro do limite:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos separar os termos no denominador:
Calculando cada parte:
Então, temos:
Passo 5
Voltando à expressão original do limite:
À medida que
cresce,
também cresce sem limites, então o limite de
é 0.
Passo 6
Agora, aplicando o critério da raiz:
Como
, de acordo com o critério da raiz, a série converge.
Resposta
Portanto, usando o critério da raiz, concluímos que a série
converge.