Calcule as derivadas parciais indicadas:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função $ f(x, y, z) = 4xyz - \ln(2xyz) $ e precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a $ x $, $ y $ e $ z $, ou seja, $ f_x $, $ f_y $ e $ f_z $. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a derivada da função logarítmica. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é $ f_x $. Isso significa que tratamos $ y $ e $ z $ como constantes.
A função é $ f(x, y, z) = 4xyz - \ln(2xyz) $.
Vamos derivar cada termo separadamente:
-
Derivada de $ 4xyz $ em relação a $ x $:
- $ y $ e $ z $ são constantes, então a derivada é $ 4yz $.
-
Derivada de $ \ln(2xyz) $ em relação a $ x $:
- Usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{u} \cdot u_x $, onde $ u = 2xyz $.
- Primeiro, derivamos $ u = 2xyz $ em relação a $ x $: $ u_x = 2yz $.
- Então, a derivada é $ \frac{1}{2xyz} \cdot 2yz = \frac{2yz}{2xyz} = \frac{yz}{xyz} = \frac{1}{x} $.
Agora, juntando tudo:
$ f_x = 4yz - \frac{1}{x} $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ f_y $.
A função continua sendo $ f(x, y, z) = 4xyz - \ln(2xyz) $.
Derivamos cada termo em relação a $ y $:
-
Derivada de $ 4xyz $ em relação a $ y $:
- $ x $ e $ z $ são constantes, então a derivada é $ 4xz $.
-
Derivada de $ \ln(2xyz) $ em relação a $ y $:
- Usamos a regra da cadeia novamente. $ u = 2xyz $, então $ u_y = 2xz $.
- A derivada é $ \frac{1}{2xyz} \cdot 2xz = \frac{2xz}{2xyz} = \frac{xz}{xyz} = \frac{1}{y} $.
Juntando tudo:
$ f_y = 4xz - \frac{1}{y} $.
Passo 4
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $, que é $ f_z $.
A função é $ f(x, y, z) = 4xyz - \ln(2xyz) $.
Derivamos cada termo em relação a $ z $:
-
Derivada de $ 4xyz $ em relação a $ z $:
- $ x $ e $ y $ são constantes, então a derivada é $ 4xy $.
-
Derivada de $ \ln(2xyz) $ em relação a $ z $:
- Usamos a regra da cadeia novamente. $ u = 2xyz $, então $ u_z = 2xy $.
- A derivada é $ \frac{1}{2xyz} \cdot 2xy = \frac{2xy}{2xyz} = \frac{xy}{xyz} = \frac{1}{z} $.
Juntando tudo:
$ f_z = 4xy - \frac{1}{z} $.
Resposta
As derivadas parciais são: