Calcule as derivadas parciais indicadas:
c) f(x, y)=4 x y z-ln (2 x y z), fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função $ f(x, y, z) = 4xyz - \ln(2xyz) $ e precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a $ x $, $ y $ e $ z $, ou seja, $ f_x $, $ f_y $ e $ f_z $. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a derivada da função logarítmica. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é $ f_x $. Isso significa que tratamos $ y $ e $ z $ como constantes.
A função é $ f(x, y, z) = 4xyz - \ln(2xyz) $.
Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Derivada de $ 4xyz $ em relação a $ x $:
    • $ y $ e $ z $ são constantes, então a derivada é $ 4yz $.
  2. Derivada de $ \ln(2xyz) $ em relação a $ x $:
    • Usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{u} \cdot u_x $, onde $ u = 2xyz $.
    • Primeiro, derivamos $ u = 2xyz $ em relação a $ x $: $ u_x = 2yz $.
    • Então, a derivada é $ \frac{1}{2xyz} \cdot 2yz = \frac{2yz}{2xyz} = \frac{yz}{xyz} = \frac{1}{x} $.
Agora, juntando tudo:
$ f_x = 4yz - \frac{1}{x} $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ f_y $.
A função continua sendo $ f(x, y, z) = 4xyz - \ln(2xyz) $.
Derivamos cada termo em relação a $ y $:
  1. Derivada de $ 4xyz $ em relação a $ y $:
    • $ x $ e $ z $ são constantes, então a derivada é $ 4xz $.
  2. Derivada de $ \ln(2xyz) $ em relação a $ y $:
    • Usamos a regra da cadeia novamente. $ u = 2xyz $, então $ u_y = 2xz $.
    • A derivada é $ \frac{1}{2xyz} \cdot 2xz = \frac{2xz}{2xyz} = \frac{xz}{xyz} = \frac{1}{y} $.
Juntando tudo:
$ f_y = 4xz - \frac{1}{y} $.

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $, que é $ f_z $.
A função é $ f(x, y, z) = 4xyz - \ln(2xyz) $.
Derivamos cada termo em relação a $ z $:
  1. Derivada de $ 4xyz $ em relação a $ z $:
    • $ x $ e $ y $ são constantes, então a derivada é $ 4xy $.
  2. Derivada de $ \ln(2xyz) $ em relação a $ z $:
    • Usamos a regra da cadeia novamente. $ u = 2xyz $, então $ u_z = 2xy $.
    • A derivada é $ \frac{1}{2xyz} \cdot 2xy = \frac{2xy}{2xyz} = \frac{xy}{xyz} = \frac{1}{z} $.
Juntando tudo:
$ f_z = 4xy - \frac{1}{z} $.

Resposta

As derivadas parciais são:
fx(x, y, z) = 4yz - 1x
fy(x, y, z) = 4xz - 1y
fz(x, y, z) = 4xy - 1z

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