Resolva as seguintes integrais definidas utilizando o método de frações parciais:
integral0^2 1x^2-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^2 1x^2-1,dx usando frações parciais. O conteúdo aqui envolve decomposição em frações parciais e integral imprópria, pois o integrando tem uma singularidade em x=1, que está dentro do intervalo de integração.

Passo 2

Começamos pela decomposição em frações parciais. Escrevemos
1x^2-1=1(x-1)(x+1)=Ax-1+Bx+1
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+1) e igualando coeficientes, encontramos
1=A(x+1)+B(x-1)
Para x=1: 1=A(2) A=tfrac12. Para x=-1: 1=B(-2) B=-tfrac12. Logo
1x^2-1=1/2x-1-1/2x+1

Passo 3

Agora integramos cada termo. A primitiva é
integral1x^2-1,dx=12integral1x-1,dx-12integral1x+1,dx =12lnl|x-1r|-12lnl|x+1r|+C

Passo 4

Como há uma singularidade em x=1, devemos tratar a integral como imprópria, dividindo em duas partes:
integral0^21x^2-1,dx=limato1^-integral0^a1x^2-1,dx+limbto1^+integralb^21x^2-1,dx

Passo 5

Avaliando cada limite usando a primitiva, notamos que em ambas as partes aparece ln|x-1| quando xto1, que tende a -infty. Portanto cada uma das integrais laterais diverge (uma vai a -infty e a outra a +infty). Logo a integral imprópria original não converge.

Resposta

A integral é divergente (não converge).

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