Resolva as seguintes integrais definidas utilizando o método de integração por partes:
integral0^pi2 x tan (x) d x

Passo 1

A integral em questão é integral0^pi2 xtan(x),dx. O conteúdo é integração imprópria (pois tan(x) explode em x=tfracpi2) e o método de integração por partes.

Passo 2

Precisamos verificar que tan(x) não é limitada em x=tfracpi2. Para lidar com isso, definimos a integral imprópria como limite
I(b)=integral0^b xtan(x),dx,
onde 0 e depois fazemos .

Passo 3

Aplicamos integração por partes a I(b). Escolhemos
u=x, dv=tan(x),dx
então
du=dx, v=integraltan(x),dx=-lnl(cos(x)r)
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I(b)=-xlnl(cos(x)r)|0^b+integral0^blnl(cos(x)r),dx

Passo 4

Agora analisamos o limite quando btotfracpi2^-. O termo de fronteira é
-,b,lnl(cos(b)r)
Como cos(b)simtfracpi2-b para btotfracpi2^-, temos
-,blnl(cos(b)r)sim -pi2lnl(tfracpi2-br)to +infty
A segunda parte integral0^bln(cos x),dx converge (fica perto de -tfracpi2ln2), mas isso não compensa a divergência do termo de fronteira.

Passo 5

Como o limite de I(b) tende a +infty, concluímos que
integral0^pi2 xtan(x),dx
é divergente (não converge para valor finito).

Resposta

A integral é divergente (tende a +∞).

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