Resolva as seguintes integrais definidas utilizando o método de frações parciais:
integral1^2 1x^2-2 x d x

Passo 1

Temos a integral definida de uma função racional com denominar dividido por x²−2x, e a ideia é usar o método de frações parciais para encontrar uma primitiva e então avaliar a integral. Vamos também observar que há uma singularidade no limite superior.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador e montar a decomposição em frações parciais. Fatoramos x²−2x = x(x−2) e escrevemos
1x(x-2) = A x + Bx-2
Multiplicando ambos os lados por x(x−2) obtemos 1 = A(x−2) + Bx. Fazendo x=0 dá A(−2)=1 → A=−\tfrac12. Fazendo x=2 dá B·2=1 → B=\tfrac12.

Passo 3

Agora que temos
1x(x-2) = -121x + 121x-2,
integramos termo a termo. Uma primitiva é
$$
F(x) = -\frac12\ln|x| + \frac12\ln|x-2| + C
= \frac12\bigl(\ln|x-2| - \ln|x|\bigr) + C.
$$

Passo 4

Por fim, avaliamos a integral definida de 1 a 2. Note que em x=2 o integrando fica singular, então a integral é imprópria. Escrevemos
integral1^21x^2-2x,dx = limtto2^-l[F(t)-F(1)r]
Aqui F(t) = \tfrac12(\ln|t-2| - \ln|t|) tende a −∞ quando t→2^−, enquanto F(1)=\tfrac12(\ln1 - \ln1)=0. Logo o resultado diverge.

Passo 5

Concluímos que a integral não converge para um valor finito, pois o termo \ln|x-2| vai a −∞ no limite superior.

Resposta

A integral é imprópria e diverge para −∞, não convergindo a um valor finito.

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