Resolva as seguintes integrais definidas utilizando o método de frações parciais:
Passo 1
Temos a integral definida de uma função racional com denominar dividido por x²−2x, e a ideia é usar o método de frações parciais para encontrar uma primitiva e então avaliar a integral. Vamos também observar que há uma singularidade no limite superior.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador e montar a decomposição em frações parciais. Fatoramos x²−2x = x(x−2) e escrevemos
Multiplicando ambos os lados por x(x−2) obtemos 1 = A(x−2) + Bx. Fazendo x=0 dá A(−2)=1 → A=−\tfrac12. Fazendo x=2 dá B·2=1 → B=\tfrac12.
Passo 3
Agora que temos
integramos termo a termo. Uma primitiva é
$$
F(x) = -\frac12\ln|x| + \frac12\ln|x-2| + C
= \frac12\bigl(\ln|x-2| - \ln|x|\bigr) + C.
= \frac12\bigl(\ln|x-2| - \ln|x|\bigr) + C.
$$
Passo 4
Por fim, avaliamos a integral definida de 1 a 2. Note que em x=2 o integrando fica singular, então a integral é imprópria. Escrevemos
Aqui F(t) = \tfrac12(\ln|t-2| - \ln|t|) tende a −∞ quando t→2^−, enquanto F(1)=\tfrac12(\ln1 - \ln1)=0. Logo o resultado diverge.
Passo 5
Concluímos que a integral não converge para um valor finito, pois o termo \ln|x-2| vai a −∞ no limite superior.
Resposta
A integral é imprópria e diverge para −∞, não convergindo a um valor finito.