Calcule as derivadas parciais indicadas:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função $ f(r, \theta) = r \tan \theta - r^{2} \sin \theta $ em relação a $ r $ e a $ \theta $. Essencialmente, isso vai nos mostrar como a função muda quando a gente varia só $ r $ ou só $ \theta $. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ r $, que é denotada por $ f_r $. Isso significa que vamos derivar $ f $ tratando $ \theta $ como constante.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a $ r $:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ f_r $ no ponto $ (\sqrt{2}, \pi/4) $. Substituímos $ r = \sqrt{2} $ e $ \theta = \pi/4 $ na expressão que encontramos:
Sabemos que $ \tan(\pi/4) = 1 $ e $ \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ \theta $, denotada por $ f_\theta $. Isso significa derivar $ f $ tratando $ r $ como constante.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a $ \theta $:
Lembrando que a derivada de $ \tan \theta $ é $ \sec^2 \theta $ e a derivada de $ \sin \theta $ é $ \cos \theta $.
Passo 5
Agora, vamos calcular $ f_\theta $ no ponto $ (3, \pi) $. Substituímos $ r = 3 $ e $ \theta = \pi $ na expressão que encontramos:
Sabemos que $ \cos(\pi) = -1 $ e $ \sec(\pi) = -1 $, então $ \sec^2(\pi) = 1 $. Assim:
Resposta
As derivadas parciais solicitadas são: