Calcule as derivadas parciais indicadas:
a) f(x, y)=4 y^3+raizx^2+y^2, fx(x, y), fy(x, y)
b) f(x, y)=x+yraizy^2-x^2, fx(x, y), fy(x, y)
c) f(x, y)=4 x y z-ln (2 x y z), fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z)
d) f(r, theta)=r tag theta-r^2 sen theta, fr(raiz2, pi / 4), ftheta(3, pi)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo das derivadas parciais de quatro funções de duas ou três variáveis. Vamos usar as seguintes técnicas: regra da cadeia para funções compostas, regra do quociente para razões, regra do produto para produtos de variáveis e a derivada do logaritmo natural. No item d também faremos avaliações numéricas em pontos dados.

Passo 2

Para a) temos a função f(x,y)=4y^3+raizx^2+y^2. Derivando em relação a x, a parte 4y^3 some e aplicamos regra da cadeia em raizx^2+y^2:
partialpartial xraizx^2+y^2=12raizx^2+y^2cdot 2x=xraizx^2+y^2
Assim fx(x,y)=x/raizx^2+y^2. Agora em relação a y, derivamos 4y^3 e raizx^2+y^2:
partialpartial y(4y^3)=12y^2, partialpartial yraizx^2+y^2=yraizx^2+y^2
Logo fy(x,y)=12y^2+tfracyraizx^2+y^2.

Passo 3

Para b) a função é f(x,y)=x+yraizy^2-x^2. Chamando o numerador de N=x+y e o denominador de D=(y^2-x^2)^1/2, usamos a regra do quociente:
fx=N'x,D-N,D'xD^2=1cdot D-(x+y)cdot(-x/D)(y^2-x^2)
Simplificando:
fx=raizy^2-x^2+x(x+y)raizy^2-x^2y^2-x^2=y(y+x)(y^2-x^2)^3/2
Analogamente,
fy=1cdot D-(x+y)cdot(y/D)(y^2-x^2)=-x(x+y)(y^2-x^2)^3/2

Passo 4

Para c) f(x,y,z)=4xyz-ln(2xyz). Em relação a x, use produto e cadeia:
partialpartial x(4xyz)=4yz, partialpartial xln(2xyz)=12xyzcdot2yz=1x
Logo fx=4yz-1/x. De forma análoga,
fy=4xz-1/y, fz=4xy-1/z

Passo 5

Para d) f(r,theta)=rtantheta-r^2sintheta. Para fr tratamos theta como constante:
fr=tantheta-2rsintheta
Em (r,theta)=(raiz2,pi/4) isso vale
fr(raiz2,pi/4)=1-2raiz2cdotraiz22=1-2=-1
Para ftheta tratamos r como constante:
ftheta=rsec^2theta-r^2costheta
Em (r,theta)=(3,pi) temos
ftheta(3,pi)=3cdot1-9cdot(-1)=3+9=12

Resposta

a) fx=xraizx^2+y^2, fy=12y^2+yraizx^2+y^2 b) fx=y(y+x)(y^2-x^2)^3/2, fy=-x(x+y)(y^2-x^2)^3/2 c) fx=4yz-1x, fy=4xz-1y, fz=4xy-1z d) fr(raiz2,pi/4)=-1, ftheta(3,pi)=12

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