Encontre a área de toda região interna à curva
(dada em coordenadas polares).
(a). A área está no intervalo
(a). A área está no intervalo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de toda a região interna à curva $ r = \cos 2\theta $ quando $ \theta $ está no intervalo
. Para isso, vamos usar um pouco de geometria em coordenadas polares e umas fórmulas de cálculo para achar áreas.
Passo 2
Primeiro, sabemos que em coordenadas polares, a área $ A $ de uma região delimitada por uma curva $ r(\theta) $ de $ \theta = a $ a $ \theta = b $ é dada pela fórmula:
Então, vamos aplicar essa fórmula com $ r = \cos 2\theta $ e os limites de integração de $ 0 $ a $ \pi/4 $.
Passo 3
Substituindo $ r $ na fórmula, temos:
Agora, precisamos simplificar $ (\cos 2\theta)^2 $. Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso com $ x = 2\theta $:
Passo 4
Substituindo de volta na integral, fica:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 5
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que $ \sin \pi = 0 $ e $ \sin 0 = 0 $, então:
Resposta
A área da região interna à curva $ r = \cos 2\theta $ no intervalo $ [0, \pi/4[ $ é $ \frac{\pi}{16} $ unidades de área.