Encontre a área de toda região interna à curva r=cos 2 theta (dada em coordenadas polares).
(a). A área está no intervalo [0, pi / 4[

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de toda a região interna à curva $ r = \cos 2\theta $ quando $ \theta $ está no intervalo r = cos 2theta . Para isso, vamos usar um pouco de geometria em coordenadas polares e umas fórmulas de cálculo para achar áreas.

Passo 2

Primeiro, sabemos que em coordenadas polares, a área $ A $ de uma região delimitada por uma curva $ r(\theta) $ de $ \theta = a $ a $ \theta = b $ é dada pela fórmula:
A
Então, vamos aplicar essa fórmula com $ r = \cos 2\theta $ e os limites de integração de $ 0 $ a $ \pi/4 $.

Passo 3

Substituindo $ r $ na fórmula, temos:
r
Agora, precisamos simplificar $ (\cos 2\theta)^2 $. Usamos a identidade trigonométrica:
A = 12 integral0^pi/4 (cos 2theta)^2 , dtheta
Aplicando isso com $ x = 2\theta $:
(cos 2theta)^2

Passo 4

Substituindo de volta na integral, fica:
A = 12 integral0^pi/4 1 + cos 4theta2 , dtheta = 14 integral0^pi/4 (1 + cos 4theta) , dtheta
Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (1) , dtheta = theta
integral cos 4theta , dtheta = sin 4theta4

Passo 5

Aplicando os limites de integração:
A = 14 [ theta + sin 4theta4 ]0^pi/4 = 14 [ ( pi4 + sin pi4 ) - ( 0 + sin 04 ) ]
Sabemos que $ \sin \pi = 0 $ e $ \sin 0 = 0 $, então:
sin pi = 0

Resposta

A área da região interna à curva $ r = \cos 2\theta $ no intervalo $ [0, \pi/4[ $ é $ \frac{\pi}{16} $ unidades de área.

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