Verifique se as funções são diferenciáveis:
a) Função f: R^2 longrightarrow R, f(x, y)=x^2 y no ponto (1,3)
b) Função f: R^2 longrightarrow R, f(x, y)=rllx^3x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)
c) Função f: R^2 longrightarrow R, f(x, y)=rr4 x yx^2+y^2 se & (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
d) Função f: R^2 longrightarrow R, f(x, y)=rllx^2raizx^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0).

Passo 1

A gente quer ver se cada função de R^2 em R é diferenciável––i.e., se elas têm aproximação linear válida ou, equivalentemente, derivadas parciais contínuas (ou satisfazem a definição de diferenciabilidade).

Passo 2

Para a) f(x,y)=x^2y é um polinômio em x,y. Polinômios são diferenciáveis em todo lugar porque suas derivadas parciais existem e são contínuas. Logo, em particular, em (1,3) ela é diferenciável.

Passo 3

Para b) definimos
f(x,y)= x^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
Fora da origem é razão de funções diferenciáveis (com denominador não nulo), logo diferenciável. No ponto (0,0) calculamos as derivadas parciais:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto0h^3/h^2h=1,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=0
Se fosse diferenciável, o erro
f(x,y)-l(0+1cdot x+0cdot yr)raizx^2+y^2
posuiria limite zero. Mas ao aproximar y=x a expressão tende a -1/(2raiz2)neq0. Logo não é diferenciável em (0,0).

Passo 4

Para c) temos
f(x,y)= 4xyx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
Novamente fora da origem é diferenciável. No lugar (0,0) as derivadas parciais são
fx(0,0)=limhto0f(h,0)h=0, fy(0,0)=0
Mas a própria razão
f(x,y)raizx^2+y^2=4xy(x^2+y^2)^3/2
não tem limite único (por exemplo, ao longo de y=x explode). Logo não é diferenciável em (0,0).

Passo 5

Para d) definimos
f(x,y)= x^2raizx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
Fora de (0,0) é composição de funções suaves, logo diferenciável. Em (0,0) calculamos
fx(0,0)=limhto0f(h,0)h=limhto0h^2/|h|h=limhto0|h|h,
possui valor +1 pela direita e -1 pela esquerda, não existe. Portanto não é diferenciável em (0,0).

Resposta

a) Sim, diferenciável em (1,3).
b) Não diferenciável em (0,0).
c) Não diferenciável em (0,0).
d) Não diferenciável em (0,0).

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