Verifique se as funções são diferenciáveis:
a) Função
no ponto
b) Função
c) Função
d) Função
.
a) Função
b) Função
c) Função
d) Função
Passo 1
A gente quer ver se cada função de
em
é diferenciável––i.e., se elas têm aproximação linear válida ou, equivalentemente, derivadas parciais contínuas (ou satisfazem a definição de diferenciabilidade).
Passo 2
Para a)
é um polinômio em
. Polinômios são diferenciáveis em todo lugar porque suas derivadas parciais existem e são contínuas. Logo, em particular, em
ela é diferenciável.
Passo 3
Para b) definimos
Fora da origem é razão de funções diferenciáveis (com denominador não nulo), logo diferenciável. No ponto
calculamos as derivadas parciais:
Se fosse diferenciável, o erro
posuiria limite zero. Mas ao aproximar
a expressão tende a
. Logo não é diferenciável em
.
Passo 4
Para c) temos
Novamente fora da origem é diferenciável. No lugar
as derivadas parciais são
Mas a própria razão
não tem limite único (por exemplo, ao longo de
explode). Logo não é diferenciável em
.
Passo 5
Para d) definimos
Fora de
é composição de funções suaves, logo diferenciável. Em
calculamos
possui valor
pela direita e
pela esquerda, não existe. Portanto não é diferenciável em
.
Resposta
a) Sim, diferenciável em (1,3).
b) Não diferenciável em (0,0).
c) Não diferenciável em (0,0).
d) Não diferenciável em (0,0).
b) Não diferenciável em (0,0).
c) Não diferenciável em (0,0).
d) Não diferenciável em (0,0).