Mostre que a função f(x)=x^{2}-3 x+2 é derivável em x=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^{2}-3x+2
e pede para mostrar que ela é derivável em x=2. Para isso vamos usar a definição de derivada em um ponto:
f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.

Passo 2

Calculamos primeiro f(2) e f(2+h):
f(2)=2^{2}-3\cdot2+2=4-6+2=0,
f(2+h)=(2+h)^{2}-3(2+h)+2 =4+4h+h^{2}-6-3h+2 =h^{2}+h.
Logo,
f(2+h)-f(2)=h^{2}+h-0=h^{2}+h.

Passo 3

Substituindo na definição e simplificando,
f'(2) =\lim_{h\to0}\frac{h^{2}+h}{h} =\lim_{h\to0}(h+1) =1.
Como esse limite existe e é finito, f é derivável em x=2.

Resposta

A função é derivável em x=2 e f'(2)=1.

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