Calcule as derivadas parciais indicadas:
partial fpartial x, partial fpartial y ; f(x, y)=3 x^2 y^7-y^215 x y-8.

Passo 1

Vamos recapitular: a questão pede as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y da função f(x,y)=3x^2y^7 - y^215xy - 8. Aqui usamos derivada de funções de duas variáveis e a regra do quociente.

Passo 2

Identificamos u(x,y)=3x^2y^7 - y^2 e v(x,y)=15xy - 8. Calculamos primeiro as derivadas parciais em relação a x:
ux = partialpartial x(3x^2y^7 - y^2)=6xy^7,
vx = partialpartial x(15xy - 8)=15y

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente para partial f/partial x:
partial fpartial x = uxcdot v - ucdot vxv^2 = 6xy^7(15xy-8) - (3x^2y^7 - y^2)cdot 15y(15xy-8)^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador de partial f/partial x. Primeiro expandimos:
6xy^7(15xy-8)=90x^2y^8 - 48xy^7,
(3x^2y^7 - y^2)cdot15y =45x^2y^8 - 15y^3
Subtraindo, obtemos:
90x^2y^8 - 48xy^7 - (45x^2y^8 - 15y^3)=45x^2y^8 - 48xy^7 + 15y^3
Portanto
partial fpartial x = 45x^2y^8 - 48xy^7 + 15y^3(15xy-8)^2

Passo 5

Agora calculamos uy e vy para a derivada em relação a y:
uy = partialpartial y(3x^2y^7 - y^2)=21x^2y^6 - 2y,
vy = partialpartial y(15xy - 8)=15x

Passo 6

Aplicamos a regra do quociente para partial f/partial y:
partial fpartial y = uycdot v - ucdot vyv^2 = (21x^2y^6 - 2y)(15xy-8) - (3x^2y^7 - y^2)cdot15x(15xy-8)^2

Passo 7

Simplificamos o numerador de partial f/partial y. Expandindo:
(21x^2y^6 - 2y)(15xy-8)=315x^3y^7 - 168x^2y^6 - 30xy^2 + 16y,
(3x^2y^7 - y^2)cdot15x=45x^3y^7 - 15xy^2
Subtraindo, vem:
315x^3y^7 - 168x^2y^6 - 30xy^2 +16y - (45x^3y^7 -15xy^2) =270x^3y^7 -168x^2y^6 -15xy^2 +16y
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partial fpartial y = 270x^3y^7 -168x^2y^6 -15xy^2 +16y(15xy-8)^2

Resposta

partial fpartial x = 45x^2y^8 - 48xy^7 + 15y^3(15xy-8)^2, partial fpartial y = 270x^3y^7 -168x^2y^6 -15xy^2 +16y(15xy-8)^2

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