Calcule o valor de L para que a função dada seja contínua em (0,0)
f(x, y)=rllx^2 y^2raizy^2+1-1, & se & (x, y) neq(0,0) L-4, & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Estamos lidando com a função por partes
f(x,y)=x^2y^2raizy^2+1-1,&(x,y)neq(0,0),L-4,&(x,y)=(0,0)
Queremos determinar o valor de L para que f seja contínua em (0,0). Pela definição de continuidade, precisamos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=L-4
Portanto, nosso objetivo é calcular o limite
lim(x,y)to(0,0)x^2y^2raizy^2+1-1

Passo 2

Para simplificar o cálculo do limite, fazemos a racionalização do denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado raizy^2+1+1. Assim obtemos:
x^2y^2raizy^2+1-1 =x^2y^2(raizy^2+1+1)(raizy^2+1-1)(raizy^2+1+1) =x^2y^2(raizy^2+1+1)(y^2+1)-1 =x^2y^2(raizy^2+1+1)y^2 = x^2(raizy^2+1+1)

Passo 3

Agora calculamos o limite da expressão simplificada. Note que ao aproximar (x,y)to(0,0) temos
raizy^2+1+1to 1+1=2 e x^2to 0. Portanto
lim(x,y)to(0,0)x^2(raizy^2+1+1)=2lim(x,y)to(0,0)x^2=0

Passo 4

Para garantir continuidade em (0,0), igualamos esse limite ao valor de f(0,0), ou seja
L-4=0
Isso implica L=4.

Resposta

L = 4

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