A função
dada abaixo é diferenciável em
? Justifique sua resposta:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável em
. Vamos usar a definição de diferenciabilidade em termos de derivadas parciais e de aproximação linear.
Passo 2
Para a diferenciabilidade em
, as derivadas parciais
e
em
devem existir. Calculemos
pela definição:
Considere a direção do eixo , ou seja
. Temos
Considere a direção do eixo
Logo, o quociente de diferenças é
Passo 3
De modo análogo na direção do eixo
(isto é,
) obtemos
Passo 4
Como não existem as derivadas parciais em
, não pode haver aproximação linear de primeira ordem, e portanto
não é diferenciável em
.
Resposta
Não, a função não é diferenciável em (0,0), pois as derivadas parciais não existem naquele ponto.