A função f dada abaixo é diferenciável em (0,0) ? Justifique sua resposta:
f(x, y)=rrrx^2-y^2x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x,y)=x^2 - y^2x^2 + y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0) é diferenciável em (0,0). Vamos usar a definição de diferenciabilidade em termos de derivadas parciais e de aproximação linear.

Passo 2

Para a diferenciabilidade em (0,0), as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y em (0,0) devem existir. Calculemos partial f/partial x pela definição:
Considere a direção do eixo x, ou seja y=0. Temos
f(h,0)=h^2 - 0h^2 + 0=1para hneq0
Logo, o quociente de diferenças é
f(h,0)-f(0,0)h=1-0h=1h, e o limite hto0 de 1/h não existe (ou diverge). Portanto partial f/partial x(0,0) não existe.

Passo 3

De modo análogo na direção do eixo y (isto é, x=0) obtemos
f(0,h)=0 - h^20 + h^2=-1, e
f(0,h)-f(0,0)h=-1-0h=-1h, cujo limite hto0 também não existe, de modo que partial f/partial y(0,0) não existe.

Passo 4

Como não existem as derivadas parciais em (0,0), não pode haver aproximação linear de primeira ordem, e portanto f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

Não, a função não é diferenciável em (0,0), pois as derivadas parciais não existem naquele ponto.

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