Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
oint|z|=2 log (z+5)z^2-2 i z+3 d z, onde o logaritmo é fixado por log 5>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral complexa para resolver usando a Fórmula Integral de Cauchy. A integral é sobre o contorno (um círculo de raio 2 no plano complexo) e a função que estamos integrando é . Para resolver isso, vamos precisar entender onde estão os pólos da função (os valores de que fazem o denominador ser zero) e ver se eles estão dentro do nosso contorno .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pólos da função z^2 - 2i z + 3 = 0 . Para isso, igualamos o denominador a zero:
z = 2i pm raiz(2i)^2 - 4 cdot 1 cdot 32
Resolvendo essa equação quadrática para z = 2i pm raiz-4 - 122 :
z = 2i pm raiz-162
z = 2i pm 4i2
z = i pm 2i
Então, os pólos são e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro do contorno . Calculamos o módulo de cada pólo:
  • Para : , que é maior que 2.
  • Para : , que é menor que 2.
Então, apenas está dentro do nosso contorno.

Passo 4

Segundo a Fórmula Integral de Cauchy, se temos uma função que é analítica dentro e sobre o contorno, exceto por alguns pólos simples, a integral ao redor desse contorno é vezes a soma dos resíduos nos pólos dentro do contorno.
Aqui, temos apenas um pólo dentro, que é . Então, precisamos calcular o resíduo de em .

Passo 5

Para encontrar o resíduo de Res(f, -i) = log(-i + 5)d/dz(z^2 - 2i z + 3) em z = -i em ddz(z^2 - 2i z + 3) = 2z - 2i , usamos a fórmula para resíduos em pólos simples:
2(-i) - 2i = -2i -2i = -4i
Primeiro, calculamos o denominador derivado:
-i + 5 = 5 - i
Em log(5 - i) :
Agora, calculamos :
Então,

Passo 6

Colocando tudo junto, o resíduo é:
Res(f, -i) = log(5 - i)-4i

Passo 7

Aplicando a Fórmula Integral de Cauchy:
oint|z|=2 log(z+5)z^2 - 2i z + 3 dz = 2pi i times Res(f, -i)
Substituindo o resíduo:
2pi i times log(5 - i)-4i

Passo 8

Simplificando a expressão:
2pi i times log(5 - i)-4i = 2pi i cdot log(5 - i)-4i
Os 2pi cdot log(5 - i)-4 = -pi2 log(5 - i) se cancelam:

Resposta

A integral vale .

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