Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
, onde o logaritmo é fixado por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral complexa para resolver usando a Fórmula Integral de Cauchy. A integral é sobre o contorno
(um círculo de raio 2 no plano complexo) e a função que estamos integrando é
. Para resolver isso, vamos precisar entender onde estão os pólos da função (os valores de
que fazem o denominador ser zero) e ver se eles estão dentro do nosso contorno
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pólos da função
. Para isso, igualamos o denominador a zero:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Então, os pólos são
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro do contorno
. Calculamos o módulo de cada pólo:
- Para
: , que é maior que 2. - Para
: , que é menor que 2.
Então, apenas
está dentro do nosso contorno.
Passo 4
Segundo a Fórmula Integral de Cauchy, se temos uma função que é analítica dentro e sobre o contorno, exceto por alguns pólos simples, a integral ao redor desse contorno é
vezes a soma dos resíduos nos pólos dentro do contorno.
Aqui, temos apenas um pólo dentro, que é
. Então, precisamos calcular o resíduo de
em
.
Passo 5
Para encontrar o resíduo de
em
, usamos a fórmula para resíduos em pólos simples:
Primeiro, calculamos o denominador derivado:
Em
:
Agora, calculamos
:
Então,
Passo 6
Colocando tudo junto, o resíduo é:
Passo 7
Aplicando a Fórmula Integral de Cauchy:
Substituindo o resíduo:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Os
se cancelam:
Resposta
A integral vale
.