Calcule as derivadas parciais indicadas.
w=x^{2} \cos x y ; \partial w / \partial x\left(\frac{1}{2}, \pi\right), \partial w / \partial y\left(\frac{1}{2}, \pi\right)

Passo 1

O enunciado fornece a função \,w=x^{2}\cos(xy)\, e pede os valores das derivadas parciais
\frac{\partial w}{\partial x}\!\left(\tfrac{1}{2},\pi\right) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial w}{\partial y}\!\left(\tfrac{1}{2},\pi\right).
Informações relevantes dadas: a função explícita \,w(x,y)=x^{2}\cos(xy)\, e o ponto onde avaliar \,(x,y)=\bigl(\tfrac{1}{2},\pi\bigr).

Passo 2

O que é uma derivada parcial (explicação didática)?
  • A derivada parcial de w(x,y) em relação a x, escrita \dfrac{\partial w}{\partial x}, mede a taxa de variação de w quando x varia e y é mantido constante.
  • Analogamente, \dfrac{\partial w}{\partial y} mede a variação de w quando y varia e x é mantido constante.
Regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  1. Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções de x, então
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'\,v+u\,v'.
Aqui, ao fazer derivada parcial em relação a x, tratamos y como constante.
2. Regra da cadeia: se temos \cos(g(x)), a derivada é -\sin(g(x))\cdot g'(x). No nosso caso g(x,y)=x y, então
\frac{\partial}{\partial x}\cos(xy)=-\sin(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy)=-\sin(xy)\cdot y,
porque \dfrac{\partial}{\partial x}(xy)=y (pois y é tratado como constante).

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial w}{\partial x} passo a passo.
Escrevendo w(x,y)=x^{2}\cos(xy) como produto de u(x,y)=x^{2} e v(x,y)=\cos(xy), aplicamos a regra do produto (derivando em relação a x, com y constante):
\frac{\partial w}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)\cos(xy)+x^{2}\,\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\cos(xy)\bigr).
Agora calculamos cada termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(\cos(xy)\bigr)=-\sin(xy)\cdot y (regra da cadeia, como explicado no passo anterior).
Substituindo:
\frac{\partial w}{\partial x}=2x\cos(xy)-x^{2}y\sin(xy).

Passo 4

Avaliação de \dfrac{\partial w}{\partial x} no ponto \bigl(\tfrac{1}{2},\pi\bigr).
Primeiro calculamos o argumento trigonométrico:
xy=\tfrac{1}{2}\cdot\pi=\frac{\pi}{2}.
Sabemos (círculo trigonométrico) que
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
Substituindo esses valores em \dfrac{\partial w}{\partial x}=2x\cos(xy)-x^{2}y\sin(xy) com x=\tfrac{1}{2} e y=\pi:
\frac{\partial w}{\partial x}\!\left(\tfrac{1}{2},\pi\right) =2\cdot\frac{1}{2}\cdot 0 -\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\pi\cdot 1 =0 - \frac{1}{4}\pi =-\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial w}{\partial y} passo a passo.
Agora derivamos w(x,y)=x^{2}\cos(xy) em relação a y, tratando x como constante. Aqui x^{2} é um fator constante multiplicativo e usamos a regra da cadeia para \cos(xy):
\frac{\partial w}{\partial y} = x^{2}\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\cos(xy)\bigr).
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\cos(xy)\bigr)=-\sin(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=-\sin(xy)\cdot x,
pois \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=x (agora x é constante). Portanto
\frac{\partial w}{\partial y}=-x^{3}\sin(xy).

Passo 6

Avaliação de \dfrac{\partial w}{\partial y} no ponto \bigl(\tfrac{1}{2},\pi\bigr).
Usando xy=\tfrac{\pi}{2} e \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1, com x=\tfrac{1}{2}:
\frac{\partial w}{\partial y}\!\left(\tfrac{1}{2},\pi\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\cdot 1 = -\frac{1}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}\!\left(\tfrac{1}{2},\pi\right) = -\frac{\pi}{4}
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}\!\left(\tfrac{1}{2},\pi\right) = -\frac{1}{8}

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