Calcule as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede os valores das derivadas parciais
Informações relevantes dadas: a função explícita
e o ponto onde avaliar
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial (explicação didática)?
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , mede a taxa de variação de quando varia e é mantido constante. - Analogamente,
mede a variação de quando varia e é mantido constante.
Regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do produto: se
e são funções de , então
Aqui, ao fazer derivada parcial em relação a
, tratamos
como constante.
2. Regra da cadeia: se temos , a derivada é
. No nosso caso
, então
2. Regra da cadeia: se temos
porque
(pois
é tratado como constante).
Passo 3
Cálculo de
passo a passo.
Escrevendo como produto de
e
, aplicamos a regra do produto (derivando em relação a
, com
constante):
Escrevendo
Agora calculamos cada termo:
-
-
(regra da cadeia, como explicado no passo anterior).
Substituindo:
Passo 4
Avaliação de
no ponto
.
Primeiro calculamos o argumento trigonométrico:
Primeiro calculamos o argumento trigonométrico:
Sabemos (círculo trigonométrico) que
Substituindo esses valores em
com
e
:
Passo 5
Cálculo de
passo a passo.
Agora derivamos em relação a
, tratando
como constante. Aqui
é um fator constante multiplicativo e usamos a regra da cadeia para
:
Agora derivamos
Aplicando a regra da cadeia:
pois
(agora
é constante). Portanto
Passo 6
Avaliação de
no ponto
.
Usando e
, com
:
Usando