Calcule as derivadas parciais de 1^3 ordem.
14. z=x^2-y^2x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de terceira ordem da função
z(x,y)=\frac{x2-y2}{x2+y2}. O conteúdo aqui é derivadas parciais de ordens superiores e vamos usar a regra do quociente e derivadas sucessivas.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Seja
u=x2-y2 e v=x2+y2. Usando a regra do quociente
zx=ux,v-u,vxv^2, zy=uy,v-u,vyv^2
Temos u_x=2x, v_x=2x, u_y=-2y, v_y=2y. Logo
zx=2x(x^2+y^2)-(x^2-y^2)2x(x^2+y^2)^2=4x y^2(x^2+y^2)^2,
zy=-2y(x^2+y^2)-(x^2-y^2)2y(x^2+y^2)^2=-4x^2 y(x^2+y^2)^2

Passo 3

Em seguida, derivamos novamente para obter as segundas derivadas. Derivando z_x e z_y, obtemos
zxx=4y^2(y^2-7x^2)(x^2+y^2)^3, zxy=8xy(x^2-3y^2)(x^2+y^2)^3, zyy=4x^2(7y^2-x^2)(x^2+y^2)^3

Passo 4

Por fim, derivamos uma terceira vez para cada combinação (note a simetria z_{xxy}=z_{xyx}, etc.). Após derivar e simplificar, achamos
zxxx=8x y^2(35x^2-13y^2)(x^2+y^2)^4, zxxy=8yl(-7x^4+37x^2y^2-4y^4r)(x^2+y^2)^4,
zxyy=8xl(x^4-20x^2y^2+27y^4r)(x^2+y^2)^4, zyyy=8x^2y(13x^2-35y^2)(x^2+y^2)^4

Resposta

As derivadas parciais de terceira ordem são:
$$z_{xxx}=\frac{8x y2(35x2-13y2)}{(x2+y2)4},\quad
z_{xxy}=\frac{8y(-7x4+37x2y2-4y4)}{(x2+y2)^4},$$
zxxx=8x y^2(35x^2-13y^2)(x^2+y^2)^4, zxxy=8y(-7x^4+37x^2y^2-4y^4)(x^2+y^2)^4,

Exercícios relacionados