Calcule as derivadas parciais de
ordem.
14.
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14.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de terceira ordem da função
z(x,y)=\frac{x2-y2}{x2+y2}. O conteúdo aqui é derivadas parciais de ordens superiores e vamos usar a regra do quociente e derivadas sucessivas.
z(x,y)=\frac{x2-y2}{x2+y2}. O conteúdo aqui é derivadas parciais de ordens superiores e vamos usar a regra do quociente e derivadas sucessivas.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Seja
u=x2-y2 e v=x2+y2. Usando a regra do quociente
u=x2-y2 e v=x2+y2. Usando a regra do quociente
Temos u_x=2x, v_x=2x, u_y=-2y, v_y=2y. Logo
Passo 3
Em seguida, derivamos novamente para obter as segundas derivadas. Derivando z_x e z_y, obtemos
Passo 4
Por fim, derivamos uma terceira vez para cada combinação (note a simetria z_{xxy}=z_{xyx}, etc.). Após derivar e simplificar, achamos
Resposta
As derivadas parciais de terceira ordem são:
$$z_{xxx}=\frac{8x y2(35x2-13y2)}{(x2+y2)4},\quad
z_{xxy}=\frac{8y(-7x4+37x2y2-4y4)}{(x2+y2)^4},$$