Seja f(x)=c-x+3 se x<3 x-3 se x >= 3
b) f é derivável em 3? Por quê?

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=-x+3,&x<3x-3,&x>=3
O conteúdo é derivabilidade em um ponto. Vamos precisar verificar se existem as derivadas laterais em x=3 e se coincidem.

Passo 2

Antes de derivar, confirmamos que a função é contínua em 3. Temos
limxto3^-f(x)=-(3)+3=0,
limxto3^+f(x)=3-3=0
e também f(3)=3-3=0, logo f é contínua em 3.

Passo 3

Calculamos as derivadas laterais em 3. Para a esquerda, em x<3, f(x)=-x+3 é linear com derivada constante -1). Então
f'-(3)=limhto0^-f(3+h)-f(3)h=-1
Para a direita, em x>=3, f(x)=x-3 tem derivada constante 1. Logo
f'+(3)=limhto0^+f(3+h)-f(3)h=1

Passo 4

Como as derivadas laterais f'-(3)=-1 e f'+(3)=1 são diferentes, a derivada não existe em x=3.

Resposta

Não. As derivadas laterais em 3 são -1 e 1, diferentes, logo f não é derivável em 3.

Exercícios relacionados