Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico.
;
Passo 1
O exercício pede para desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico da função
, excluído o ponto
. O conteúdo principal é curvas de nível e uso de coordenadas polares. Vamos precisar reescrever
em coordenadas polares e resolver
.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
e
. Assim
Passo 3
Para traçar as curvas de nível pedimos
. Logo
Passo 4
Como
só tem solução real se
, obtemos níveis
. Para cada
fixo,
Passo 5
Casos especiais: para
temos
dando as retas dos eixos
e
. Para
vem
ou
, ou seja, as retas em
.
Passo 6
Para esboçar o gráfico 3D note que
depende só de
, não de
. Assim, ao fixar
,
é constante para todo
. O gráfico é um feixe de retas paralelas ao eixo
, com altura variando ciclicamente em função de
, formando uma superfície cilíndrica “ondo” ao redor do eixo.
O traçado das curvas de nível no plano são retas pelo origem conforme os ângulos acima, e a superfície em
é dada implicitamente por
O traçado das curvas de nível no plano
Resposta
As curvas de nível de
são retas que passam pela origem fazendo ângulo
para cada nível