Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico.
f(x, y)=x yx^2+y^2, (x, y) neq(0,0);

Passo 1

O exercício pede para desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico da função f(x,y)=xyx^2+y^2, excluído o ponto (0,0). O conteúdo principal é curvas de nível e uso de coordenadas polares. Vamos precisar reescrever f em coordenadas polares e resolver f(r,theta)=k.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos x=rcostheta e y=rsintheta. Assim
f(r,theta)=(rcostheta)(rsintheta)r^2=r^2costhetasinthetar^2=tfrac12sin(2theta)

Passo 3

Para traçar as curvas de nível pedimos f(r,theta)=k. Logo
tfrac12sin(2theta)=kLongrightarrowsin(2theta)=2k

Passo 4

Como sin(2theta)=2k só tem solução real se |2k|<=1, obtemos níveis kin[-tfrac12,tfrac12]. Para cada k fixo,
2theta=arcsin(2k)ou2theta=pi-arcsin(2k),isto é, as curvas de nível são retas passando pela origem com
theta=tfrac12arcsin(2k) quade theta=tfracpi-arcsin(2k)2

Passo 5

Casos especiais: para k=0 temos 2theta=0,pi dando as retas dos eixos x e y. Para k=pmtfrac12 vem 2theta=pmtfracpi2 ou tfrac3pi2, ou seja, as retas em theta=pi/4,3pi/4,5pi/4,7pi/4.

Passo 6

Para esboçar o gráfico 3D note que f depende só de theta, não de r. Assim, ao fixar theta, z=f=tfrac12sin2theta é constante para todo r>0. O gráfico é um feixe de retas paralelas ao eixo z, com altura variando ciclicamente em função de theta, formando uma superfície cilíndrica “ondo” ao redor do eixo.
O traçado das curvas de nível no plano (x,y) são retas pelo origem conforme os ângulos acima, e a superfície em (x,y,z) é dada implicitamente por
z=tfrac12sinl(2arctan(y/x)r),(x,y)neq(0,0),mostrando que não há dependência de r=raizx^2+y^2 e que as alturas variam apenas com a direção do vetor (x,y).

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=xy/(x^2+y^2) são retas que passam pela origem fazendo ângulo
theta=tfrac12arcsin(2k)etheta=tfracpi-arcsin(2k)2,
para cada nível kin[-1/2,1/2]. O esboço do gráfico 3D mostra uma superfície na qual para cada direção theta a altura z=f é constante e vale z=tfrac12sin2theta, formando um feixe de retas paralelas ao eixo z com ondulação angular.

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