Calcule as derivadas parciais de 1^3 ordem.
25. z=x^2 y^2-x y.

Passo 1

O exercício pede para calcular as derivadas parciais de 1ª, 2ª e 3ª ordem da função z = x^2 y^2 - x y. Para isso vamos usar o conceito de derivada parcial: ao derivar em relação a x tratamos y como constante, e vice-versa.

Passo 2

Vamos encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem. Derivando em relação a x:
partial zpartial x = partialpartial x(x^2 y^2) - partialpartial x(x y) = 2x y^2 - y
Derivando em relação a y:
partial zpartial y = partialpartial y(x^2 y^2) - partialpartial y(x y) = 2x^2 y - x

Passo 3

Agora, para as derivadas de 2ª ordem, vamos derivar novamente cada uma das parciais de 1ª ordem.
Derivando zx = 2x y^2 - y:
zxx = partialpartial x(2x y^2 - y) = 2y^2
zxy = partialpartial y(2x y^2 - y) = 4x y - 1
Derivando zy = 2x^2 y - x:
zyy = partialpartial y(2x^2 y - x) = 2x^2
Como a ordem das derivadas mistas não altera o resultado, temos zyx = zxy.

Passo 4

Por fim, as derivadas de 3ª ordem vêm das derivadas de 2ª ordem:
Derivando zxx = 2y^2:
zxxx = partialpartial x(2y^2) = 0
zxxy = partialpartial y(2y^2) = 4y
Derivando zxy = 4x y -1:
zxyy = partialpartial y(4x y -1) = 4x
Derivando zyy = 2x^2:
zyyy = partialpartial y(2x^2) = 0

Resposta

As derivadas parciais são:
1ª ordem:
zx = 2x y^2 - y,
zy = 2x^2 y - x
2ª ordem:
zxx = 2y^2,
zxy = zyx = 4xy - 1,
zyy = 2x^2
3ª ordem:
zxxx = 0,
zxxy = 4y,
zxyy = 4x,
zyyy = 0

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