Calcule as seguintes integrais:
(b) Usando subtituição calcule:
integral x(x^2+4)^2 d x

Passo 1

Nesse exercício, queremos calcular integral x(x^2+4)^2,dx usando substituição. O conteúdo aqui é integração por substituição (u-substituição) e vamos precisar reconhecer que o numerador x,dx está diretamente relacionado à derivada de x^2+4.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição clássica. Definimos u = x^2 + 4.
Em seguida, derivamos u em relação a x:
du = 2x,dx
Isso nos permite escrever x,dx = tfrac12,du.

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral original em termos de u. Temos:
integral x(x^2+4)^2,dx = integral 1u^2 l(x,dxr) = integral 1u^2 cdot 12,du = 12 integral u^-2,du

Passo 4

Calculamos a integral de u^-2. Sabemos que:
integral u^-2,du = integral u^(-2),du = u^-1-1 + C = -u^-1 + C
Logo,
12integral u^-2,du = 12 l(-u^-1r) + C = -12u + C

Passo 5

Por fim, voltamos a variável original substituindo u = x^2 + 4. Assim, a antiderivada fica:
-12(x^2 + 4) + C

Resposta

-\frac{1}{2(x^2 + 4)} + C

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