Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a diferenciabilidade em (0,0) de várias funções de duas variáveis. O conteúdo aqui é a definição de diferenciabilidade em ,(\mathbb R^2,) que diz que f é diferenciável em (0,0) se existem derivadas parciais f_x(0,0) e f_y(0,0) e a aproximação linear
Passo 2
Para a parte (a), f(x,y)=\sqrt{x{2/3}+y{2/3}}. Primeiro vemos que f(0,0)=0. Ao tentar a derivada parcial em x, tomamos o caminho y=0:
Como a derivada parcial não existe (vai ao infinito), f não é diferenciável na origem.
Passo 3
Na parte (b), f(x,y)=\frac{2x5}{x2+y^2} (fora da origem) e f(0,0)=0. Calculamos as parciais em (0,0) usando caminhos coordenados:
Como candidato à aproximação linear temos L(x,y)=0. Agora verificamos o resto:
Passo 4
Logo,
então f é diferenciável em (0,0).
Passo 5
Na parte ©, f(x,y)=x+y é função linear. Funções lineares são diferenciáveis em todo ponto, logo diferenciável em (0,0).
Passo 6
Na parte (d), f(x,y)=\frac{y4+3x2y2+2yx3}{(x2+y2)^2} fora da origem e 0 na origem. Para ver a descontinuidade, tomamos y=mx:
Passo 7
Na parte (e), f(x,y)=1/(x2+y2) fora de (0,0) e 0 em (0,0). Claramente f(x,y)\to+\infty ao aproximar da origem, então não é contínua em (0,0) e nem diferenciável.
Resposta
a) não diferenciável; b) diferenciável; c) diferenciável; d) não diferenciável; e) não diferenciável.