Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:
a) f(x, y)=raizx^23+y^23
b) f(x, y)=cc2 x^5x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
c) f(x, y)=x+y
d)
f(x, y)=cy^4+3 x^2 y^2+2 y x^3(x^2+y^2)^2,(x, y) neq(0,0) 0, (x, y)=(0,0)
e) f(x, y)=cc1x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a diferenciabilidade em (0,0) de várias funções de duas variáveis. O conteúdo aqui é a definição de diferenciabilidade em ,(\mathbb R^2,) que diz que f é diferenciável em (0,0) se existem derivadas parciais f_x(0,0) e f_y(0,0) e a aproximação linear

Passo 2

Para a parte (a), f(x,y)=\sqrt{x{2/3}+y{2/3}}. Primeiro vemos que f(0,0)=0. Ao tentar a derivada parcial em x, tomamos o caminho y=0:
f(h,0)=|h|^1/3,f(h,0)-0h=|h|^1/3h=sgn(h)|h|^-2/3toinfty
Como a derivada parcial não existe (vai ao infinito), f não é diferenciável na origem.

Passo 3

Na parte (b), f(x,y)=\frac{2x5}{x2+y^2} (fora da origem) e f(0,0)=0. Calculamos as parciais em (0,0) usando caminhos coordenados:
f(h,0)=2h^3implies fx(0,0)=limhto02h^3h=0, f(0,h)=0implies fy(0,0)=0
Como candidato à aproximação linear temos L(x,y)=0. Agora verificamos o resto:
|f(x,y)-0|=|2x^5x^2+y^2|<=2|x|^5x^2=2|x|^3<=2|(x,y)|^3

Passo 4

Logo,
|f(x,y)-L(x,y)|raizx^2+y^2<=2|(x,y)|^2to0,
então f é diferenciável em (0,0).

Passo 5

Na parte ©, f(x,y)=x+y é função linear. Funções lineares são diferenciáveis em todo ponto, logo diferenciável em (0,0).

Passo 6

Na parte (d), f(x,y)=\frac{y4+3x2y2+2yx3}{(x2+y2)^2} fora da origem e 0 na origem. Para ver a descontinuidade, tomamos y=mx:
f(x,mx)=(m^4+3m^2+2m)x^4(1+m^2)^2x^4=m(m+2)(m-1)^2(1+m^2)^2,que depende de m. Como não tende a zero para todo m, f não é contínua em (0,0) e, portanto, não é diferenciável.

Passo 7

Na parte (e), f(x,y)=1/(x2+y2) fora de (0,0) e 0 em (0,0). Claramente f(x,y)\to+\infty ao aproximar da origem, então não é contínua em (0,0) e nem diferenciável.

Resposta

a) não diferenciável; b) diferenciável; c) diferenciável; d) não diferenciável; e) não diferenciável.

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