Encontre a eq. vetorial e geral 1^circ forma do plano pi paralelo aos vetores u=(2,-1,0) v=(-1,3,1) e contem ponto A=(1,-2,-1)

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano que seja paralelo aos vetores vec u=(2,-1,0) e vec v=(-1,3,1) e contenha o ponto A=(1,-2,-1). Estamos em Geometria Analítica no espaço, e para achar a forma geral vamos precisar do vetor normal ao plano, obtido via produto vetorial.

Passo 2

Para encontrar o vetor normal vec n fazemos o produto vetorial vec utimesvec v:
[
\vec n= i & j & k 2 & -1 & 0 -1 & 3 & 1
=\bigl((-1)\cdot1 - 0\cdot3,;0\cdot(-1)-2\cdot1,;2\cdot3 - (-1)\cdot(-1)\bigr)
= (-1,-2,5).

Passo 3

Com o vetor normal em mãos, a equação vetorial do plano fica
vec r = (1,-2,-1) + s,(2,-1,0) + t,(-1,3,1), s,tinR

Passo 4

Para a forma geral, usamos vec ncdot(vec r - vec r0)=0. Seja vec r=(x,y,z) e vec r0=A=(1,-2,-1). Então:
(-1,-2,5)cdotl((x,y,z)-(1,-2,-1)r)=0
(-1)(x-1) + (-2)(y+2) + 5(z+1)=0
Expandindo e simplificando chega-se a
x + 2y - 5z - 2 = 0

Passo 5

Esses são os dois formatos de equação do plano pedido.

Resposta

Equação vetorial: vec r = (1,-2,-1) + s,(2,-1,0) + t,(-1,3,1),;s,tinR Forma geral: x + 2y - 5z - 2 = 0

Exercícios relacionados