- Calcule as derivadas parciais de 1 ordem
d)
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é dada por
. - O domínio natural dessa função exige que o argumento do logaritmo seja positivo, ou seja
. Assim o ponto fica fora do domínio e as derivadas parciais serão calculadas para tais que . - A tarefa: encontrar
e .
Passo 2
Definição e regras que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
- Derivada parcial em relação a
: diferenciar como função de mantendo fixo. Formalmente
mas na prática usamos as regras de diferenciação de funções de uma variável aplicadas a
, tratando
como constante.
- Derivada parcial em relação a
: diferenciar como função de mantendo fixo. - Regras de diferenciação que usaremos:
- Regra da cadeia para logaritmo: se
então . - Regra do produto: se
então .
- Regra da cadeia para logaritmo: se
- No nosso caso aparecem ambos: produto
e cadeia para .
Passo 3
Cálculo de
(passo a passo, tratando
como constante):
Escrevemos a derivada parcial:
Escrevemos a derivada parcial:
Como
é constante ao derivar em
,
é um fator constante. Aplicamos a regra da cadeia ao logaritmo:
Pela regra da cadeia,
Agora
(pois
é constante em relação a
). Substituindo:
Multiplicando por
obtém-se
Passo 4
Interpretação e checagem rápida da expressão de
:
- A fórmula faz sentido dimensionalmente: para
grande o termo se aproxima de , decaindo como . - Lembre que tudo vale quando
(para evitar divisão por zero e log indefinido).
Passo 5
Cálculo de
(passo a passo, agora
é constante):
Escrevemos
Escrevemos
Aqui ambos os fatores dependem de
, então aplicamos a regra do produto com
e
:
Calculamos cada termo:
-
. - Para
usamos a regra da cadeia:
pois
é constante em relação a
.
Agora aplicando o produto:
Agora aplicando o produto:
Simplificando o segundo termo:
Fatorando
(opcional, mas deixa mais compacto):
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (útil na prova para checar cálculo): tomar
. Então
.
-
-
Isso confirma que as fórmulas acima produzem valores concretos e verificáveis.