1. Calcule as derivadas parciais de 1 ordem
d) f(x, y)=y^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=y^{2}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é dada por f(x,y)=y^{2}\ln(x^{2}+y^{2}).
  • O domínio natural dessa função exige que o argumento do logaritmo seja positivo, ou seja x^{2}+y^{2}>0. Assim o ponto (0,0) fica fora do domínio e as derivadas parciais serão calculadas para (x,y) tais que x^{2}+y^{2}>0.
  • A tarefa: encontrar \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Passo 2

Definição e regras que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
  • Derivada parcial em relação a x: diferenciar f como função de x mantendo y fixo. Formalmente
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
mas na prática usamos as regras de diferenciação de funções de uma variável aplicadas a x, tratando y como constante.
  • Derivada parcial em relação a y: diferenciar f como função de y mantendo x fixo.
  • Regras de diferenciação que usaremos:
    • Regra da cadeia para logaritmo: se g(t)=\ln(u(t)) então g'(t)=\dfrac{u'(t)}{u(t)}.
    • Regra do produto: se h(t)=u(t)v(t) então h'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
  • No nosso caso aparecem ambos: produto y^{2}\cdot\ln(x^{2}+y^{2}) e cadeia para \ln(x^{2}+y^{2}).

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) (passo a passo, tratando y como constante):
Escrevemos a derivada parcial:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}\ln(x^{2}+y^{2})\bigr).
Como y é constante ao derivar em x, y^{2} é um fator constante. Aplicamos a regra da cadeia ao logaritmo:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = y^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\ln(x^{2}+y^{2}).
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\ln(x^{2}+y^{2}) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}).
Agora \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x (pois y^{2} é constante em relação a x). Substituindo:
\frac{\partial}{\partial x}\ln(x^{2}+y^{2})=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.
Multiplicando por y^{2} obtém-se
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Interpretação e checagem rápida da expressão de \dfrac{\partial f}{\partial x}:
  • A fórmula faz sentido dimensionalmente: para x grande o termo se aproxima de 2x y^{2}/x^{2}\approx 2y^{2}/x, decaindo como 1/x.
  • Lembre que tudo vale quando x^{2}+y^{2}>0 (para evitar divisão por zero e log indefinido).

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) (passo a passo, agora x é constante):
Escrevemos
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\ln(x^{2}+y^{2})\bigr).
Aqui ambos os fatores dependem de y, então aplicamos a regra do produto com u(y)=y^{2} e v(y)=\ln(x^{2}+y^{2}):
\frac{\partial f}{\partial y}=u'(y)v(y)+u(y)v'(y).
Calculamos cada termo:
  • u'(y)=\dfrac{d}{dy}y^{2}=2y.
  • Para v'(y) usamos a regra da cadeia:
v'(y)=\frac{d}{dy}\ln(x^{2}+y^{2})=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{d}{dy}(x^{2}+y^{2})=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}},
pois x^{2} é constante em relação a y.
Agora aplicando o produto:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y\ln(x^{2}+y^{2})+y^{2}\cdot\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
Simplificando o segundo termo:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y\ln(x^{2}+y^{2})+\frac{2y^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
Fatorando 2y (opcional, mas deixa mais compacto):
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y\left(\ln(x^{2}+y^{2})+\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right).

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (útil na prova para checar cálculo): tomar (x,y)=(1,1). Então x^{2}+y^{2}=2.
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,1)=\dfrac{2\cdot1\cdot1^{2}}{2}=1.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1)=2\cdot1\ln 2+\dfrac{2\cdot1^{3}}{2}=2\ln 2+1.
    Isso confirma que as fórmulas acima produzem valores concretos e verificáveis.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+\frac{2y^{3}}{x^{2}+y^{2}}

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