O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de z em função de x e y. A função dada é
z=(x+y)\,e^{x+2y}.
As perguntas que vamos responder são:
Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x}.
Calcular \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes fornecidas:
z é função de duas variáveis x e y.
A expressão contém um produto entre a função x+y e a função exponencial e^{x+2y}.
Passo 2
O que é uma derivada parcial e quais regras vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).
Derivada parcial em relação a x: significa derivar a função mantendo y constante. Simetricamente, derivada parcial em relação a y significa derivar mantendo x constante.
Regras que usaremos:
Regra do produto (para duas funções u(x,y) e v(x,y)):
\frac{\partial}{\partial x}\big(u v\big)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}.A mesma fórmula vale trocando x por y.
2. Derivada da exponencial com cadeia: se v(x,y)=e^{g(x,y)}, então\frac{\partial v}{\partial x}=e^{g(x,y)}\cdot\frac{\partial g}{\partial x},porque a derivada de e^{t} em relação a t é e^{t}, e aplica-se a regra da cadeia para o g(x,y).
Vamos nomear as partes para facilitar: definau(x,y)=x+y,\qquad v(x,y)=e^{x+2y},então z=u\cdot v. Isso facilita aplicar a regra do produto passo a passo.
Passo 3
Cálculo de \dfrac{\partial z}{\partial x} passo a passo.
Calcular as derivadas parciais das partes:\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1,porque y é tratado como constante e a derivada de x em relação a x é 1.\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x+2y}\big)=e^{x+2y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+2y)=e^{x+2y}\cdot 1=e^{x+2y},pois \dfrac{\partial}{\partial x}(x+2y)=1 (novamente y é constante).
Aplicar a regra do produto:\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}=1\cdot e^{x+2y}+(x+y)\cdot e^{x+2y}.
Observação: também se pode escrever \dfrac{\partial z}{\partial x}=e^{x+2y}(x+y+1). Ambas são equivalentes.
Passo 4
Cálculo de \dfrac{\partial z}{\partial y} passo a passo.
Derivadas parciais das partes em relação a y:\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1,já que x é tratado como constante e a derivada de y em relação a y é 1.\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x+2y}\big)=e^{x+2y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+2y)=e^{x+2y}\cdot 2=2e^{x+2y},porque \dfrac{\partial}{\partial y}(x+2y)=2.
Aplicar a regra do produto:\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial y}=1\cdot e^{x+2y}+(x+y)\cdot 2e^{x+2y}.
Também se pode expandir para \dfrac{\partial z}{\partial y}=e^{x+2y}(1+2x+2y).
Passo 5
Pequena checagem numérica para ganhar confiança (opcional, só para ver que faz sentido).
Se x=0 e y=0, então z=(0+0)e^{0}=0.
As derivadas nestes pontos valem:\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,0)}=e^{0}(1+0+0)=1, \qquad \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(0,0)}=e^{0}(1+2(0+0))=1.
Isso indica que, em torno de (0,0), pequenas variações tanto em x quanto em y alteram z aproximadamente na mesma taxa 1 — parece consistente com a forma da função.