- Calcule as derivadas parciais de 1 ordem
a)
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
dada por
Portanto as perguntas são:
- Calcular
. - Calcular
.
As informações fornecidas são apenas a expressão de
.
Passo 2
O que é derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , mede a taxa de variação de quando apenas varia e é mantido fixo. Formalmente,
- Analogamente, a derivada parcial em relação a
é obtida mantendo fixo:
Na prática, para funções com fórmulas usuais usa-se as regras de derivação (produto, cadeia, etc.) tratando a outra variável como constante.
Passo 3
Estratégia concreta (regra da cadeia):
A função é da forma com
. Para essa composição vale a regra da cadeia:
A função é da forma
Então primeiro calculamos as derivadas parciais de
:
- Mantendo
constante, derivando em relação a :
- Mantendo
constante, derivando em relação a :
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter
. Usando
e
:
Podemos reescrever de forma mais limpa:
Explicando passo a passo: derivou-se o expoente
em relação a
obtendo
, e multiplicou esse resultado pelo próprio exponencial
.
Passo 5
Aplicando o mesmo raciocínio para
, usando
:
Ou seja,
Aqui, ao derivar o expoente em relação a
obteve-se
, e multiplicou-se por
.
Passo 6
Observações finais úteis para a prova:
- Resultado final frequentemente é mostrado fatorando
comum:
- A função
é infinitamente diferenciável em todo , então essas derivadas existem para todos os pares . - Dica prática: ao derivar, sempre identifique o “inner”
e aplique a regra da cadeia; trate a variável não diferenciada como constante.