1. Calcule as derivadas parciais de 1 ordem
a) f(x, y)=e^{x^{2} y}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função f dada por
f(x,y)=e^{x^{2}y}.
Portanto as perguntas são:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y).
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).
As informações fornecidas são apenas a expressão de f(x,y).

Passo 2

O que é derivada parcial?
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede a taxa de variação de f quando apenas x varia e y é mantido fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
  • Analogamente, a derivada parcial em relação a y é obtida mantendo x fixo:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Na prática, para funções com fórmulas usuais usa-se as regras de derivação (produto, cadeia, etc.) tratando a outra variável como constante.

Passo 3

Estratégia concreta (regra da cadeia):
A função é da forma f(x,y)=e^{u(x,y)} com u(x,y)=x^{2}y. Para essa composição vale a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}e^{u(x,y)}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}e^{u(x,y)}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Então primeiro calculamos as derivadas parciais de u(x,y)=x^{2}y:
  • Mantendo y constante, derivando em relação a x:
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=y\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=y\cdot(2x)=2xy.
  • Mantendo x constante, derivando em relação a y:
\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(y)=x^{2}\cdot 1=x^{2}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial f}{\partial x}. Usando u_x=2xy e f=e^{u}:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{x^{2}y}\cdot(2xy).
Podemos reescrever de forma mais limpa:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy\,e^{x^{2}y}.
Explicando passo a passo: derivou-se o expoente x^{2}y em relação a x obtendo 2xy, e multiplicou esse resultado pelo próprio exponencial e^{x^{2}y}.

Passo 5

Aplicando o mesmo raciocínio para \dfrac{\partial f}{\partial y}, usando u_y=x^{2}:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{x^{2}y}\cdot x^{2}.
Ou seja,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}e^{x^{2}y}.
Aqui, ao derivar o expoente em relação a y obteve-se x^{2}, e multiplicou-se por e^{x^{2}y}.

Passo 6

Observações finais úteis para a prova:
  • Resultado final frequentemente é mostrado fatorando e^{x^{2}y} comum:
\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(2xy\,e^{x^{2}y},\;x^{2}e^{x^{2}y}).
  • A função f(x,y)=e^{x^{2}y} é infinitamente diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}, então essas derivadas existem para todos os pares (x,y).
  • Dica prática: ao derivar, sempre identifique o “inner” u(x,y) e aplique a regra da cadeia; trate a variável não diferenciada como constante.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy\,e^{x^{2}y}
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}e^{x^{2}y}

Exercícios relacionados