a)
Calcule as derivadas parciais de
ordem da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = \frac{x \cdot e^{x y{2}}}{y{2} - x^{2}} $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre Derivadas Parciais. Para resolver, vamos precisar usar a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Como $ f $ é uma função que tem $ x $ tanto no numerador quanto no denominador, vamos aplicar a Regra do Quociente que diz:
Aqui, $ u = x \cdot e^{x y^{2}} $ e $ v = y^{2} - x^{2} $.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{du}{dx} $. Para isso, usamos a Regra do Produto porque $ u $ é o produto de $ x $ e $ e^{x y^{2}} $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \frac{dv}{dx} $. Como $ v = y^{2} - x^{2} $, derivando em relação a $ x $:
Passo 5
Aplicando a Regra do Quociente:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Fatorando $ e^{x y^{2}} $:
Passo 7
Expandindo $ (y^{2} - x^{2})(1 + x y^{2}) $:
Agora, somando os $ 2x^{2} $:
Passo 8
Então, a derivada parcial em relação a $ x $ fica:
Passo 9
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Novamente, usamos a Regra do Quociente com $ u = x \cdot e^{x y^{2}} $ e $ v = y^{2} - x^{2} $.
Passo 10
Calculando $ \frac{du}{dy} $. Como $ u = x \cdot e^{x y^{2}} $:
Passo 11
Calculando $ \frac{dv}{dy} $. Como $ v = y^{2} - x^{2} $:
Passo 12
Aplicando a Regra do Quociente:
Passo 13
Fatorando $ 2y \cdot e^{x y^{2}} $:
Passo 14
Simplificando o numerador:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) $ são:
e