a) (0,8) Calcule as derivadas parciais de 1^a ordem da função f(x, y)=x cdot e^x y^2y^2-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = \frac{x \cdot e^{x y{2}}}{y{2} - x^{2}} $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre Derivadas Parciais. Para resolver, vamos precisar usar a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Como $ f $ é uma função que tem $ x $ tanto no numerador quanto no denominador, vamos aplicar a Regra do Quociente que diz:
f
Aqui, $ u = x \cdot e^{x y^{2}} $ e $ v = y^{2} - x^{2} $.

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{du}{dx} $. Para isso, usamos a Regra do Produto porque $ u $ é o produto de $ x $ e $ e^{x y^{2}} $:
dudx
Simplificando:
u

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \frac{dv}{dx} $. Como $ v = y^{2} - x^{2} $, derivando em relação a $ x $:
dvdx

Passo 5

Aplicando a Regra do Quociente:
partial fpartial x = (y^2 - x^2) cdot e^x y^2 (1 + x y^2) - x cdot e^x y^2 cdot (-2x)(y^2 - x^2)^2

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
(y^2 - x^2) e^x y^2 (1 + x y^2) + 2x^2 e^x y^2
Fatorando $ e^{x y^{2}} $:
e^x y^2

Passo 7

Expandindo $ (y^{2} - x^{2})(1 + x y^{2}) $:
(y^2 - x^2)(1 + x y^2)
Agora, somando os $ 2x^{2} $:
y^2 cdot 1 + y^2 cdot x y^2 - x^2 cdot 1 - x^2 cdot x y^2 = y^2 + x y^4 - x^2 - x^3 y^2

Passo 8

Então, a derivada parcial em relação a $ x $ fica:
x

Passo 9

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Novamente, usamos a Regra do Quociente com $ u = x \cdot e^{x y^{2}} $ e $ v = y^{2} - x^{2} $.

Passo 10

Calculando $ \frac{du}{dy} $. Como $ u = x \cdot e^{x y^{2}} $:
dudy

Passo 11

Calculando $ \frac{dv}{dy} $. Como $ v = y^{2} - x^{2} $:
dvdy

Passo 12

Aplicando a Regra do Quociente:
partial fpartial y = (y^2 - x^2) cdot 2x^2 y cdot e^x y^2 - x cdot e^x y^2 cdot 2y(y^2 - x^2)^2

Passo 13

Fatorando $ 2y \cdot e^{x y^{2}} $:
2y cdot e^x y^2

Passo 14

Simplificando o numerador:
2y cdot e^x y^2 (x^2 y^2 - x^4 - x)

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) $ são:
f(x, y)
e
partial fpartial x = e^x y^2 (y^2 + x y^4 + x^2 - x^3 y^2)(y^2 - x^2)^2

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