Seja
.
Verifique se
está parametrizada pelo comprimento de arco. Em caso negativo, dê uma reparametrização
pelo comprimento de arco.
Verifique se
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
em
para
e pede para verificar se ela já está parametrizada pelo comprimento de arco (isto é, se sua velocidade é
). Caso não seja, precisamos encontrar uma reparametrização
em que
seja justamente o comprimento de arco.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
. Como
sua derivada é dada por derivar cada componente trigonométrica:
Passo 3
Agora verificamos a norma de
. Calculamos
Expandindo e somando, nota-se que os termos mistos se cancelam e obtemos
Logo
ou seja, a parametrização não é por comprimento de arco.
Passo 4
Como a velocidade é constante
, o comprimento de arco desde
até
é
Invertendo esta relação dá
Passo 5
Portanto, uma reparametrização pelo comprimento de arco é
. O novo parâmetro
varia de
até
.
Resposta
Uma reparametrização por comprimento de arco é
com
, que satisfaz
.