Seja alpha(t)=(13, 13, 13)+(-raiz33 cos t+13 sen t, raiz33 cos t+13 sen t,-23 sen t), com t in[0,2 pi].
Verifique se alpha está parametrizada pelo comprimento de arco. Em caso negativo, dê uma reparametrização beta(s) pelo comprimento de arco.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva alpha(t) em R^3 para tin[0,2pi] e pede para verificar se ela já está parametrizada pelo comprimento de arco (isto é, se sua velocidade é 1). Caso não seja, precisamos encontrar uma reparametrização beta(s) em que s seja justamente o comprimento de arco.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de alpha(t). Como alpha(t)=l(tfrac13,tfrac13,tfrac13r)+l(-tfracraiz33cos t+tfrac13sin t,;tfracraiz33cos t+tfrac13sin t,;-tfrac23sin tr), sua derivada é dada por derivar cada componente trigonométrica: alpha'(t)=l(tfracraiz33sin t+tfrac13cos t,;-tfracraiz33sin t+tfrac13cos t,;-tfrac23cos tr)

Passo 3

Agora verificamos a norma de alpha'(t). Calculamos |alpha'(t)|^2=(tfracraiz33sin t+tfrac13cos t)^2+(-tfracraiz33sin t+tfrac13cos t)^2+(-tfrac23cos t)^2 Expandindo e somando, nota-se que os termos mistos se cancelam e obtemos |alpha'(t)|^2=tfrac23(sin^2t+cos^2t)=tfrac23 Logo |alpha'(t)|=raiztfrac23neq1, ou seja, a parametrização não é por comprimento de arco.

Passo 4

Como a velocidade é constante v=raiz2/3, o comprimento de arco desde t=0 até t é s(t)=integral0^t|alpha'(u)|,du=integral0^traiztfrac23,du=raiztfrac23;t Invertendo esta relação dá t=raiztfrac32;s

Passo 5

Portanto, uma reparametrização pelo comprimento de arco é beta(s)=alphal(t(s)r)=alphal(raiztfrac32,sr). O novo parâmetro s varia de 0 até L=raiztfrac23,(2pi)=2piraiztfrac23.

Resposta

Uma reparametrização por comprimento de arco é
beta(s)=alphal(raiztfrac32,sr)=l(tfrac13,tfrac13,tfrac13r)+l(-tfracraiz33cos(raiztfrac32s)+tfrac13sin(raiztfrac32s),;tfracraiz33cos(raiztfrac32s)+tfrac13sin(raiztfrac32s),;-tfrac23sin(raiztfrac32s)r),
com sin[0,2piraiz2/3], que satisfaz |beta'(s)|=1.

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