Seja sinh x=e^x-e^-x2 e cosh x=e^x+e^-x2.
e) Calcule integral tanh x sech^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de tanh x , sech^3 x em relação a x. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente envolvendo funções hiperbólicas como tanh x e sech x. Vamos precisar entender as definições dessas funções e como aplicar técnicas de substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são tanh x e sech x. Sabemos que:
tanh x = sinh xcosh x e sech x = 1cosh x
Então, podemos reescrever a expressão que vamos integrar substituindo essas definições.

Passo 3

Substituindo as definições na integral, temos:
integral tanh x , sech^3 x , dx = integral ( sinh xcosh x ) ( 1cosh x )^3 dx = integral sinh xcosh^4 x , dx
Agora, a integral ficou um pouco mais simples, mas ainda vamos precisar de uma técnica para resolver.

Passo 4

Vamos usar a substituição. Vamos deixar:
u = cosh x
Então, derivando ambos os lados em relação a x, temos:
dudx = sinh x Rightarrow du = sinh x , dx
Perceba que sinh x , dx aparece na nossa integral, então podemos substituir.

Passo 5

Substituindo u e du na integral:
integral sinh xcosh^4 x , dx = integral 1u^4 , du = integral u^-4 , du
Agora, basta integrar u^-4 em relação a u.

Resposta

Integrando, temos:
integral u^-4 , du = u^-3-3 + C = -13 u^3 + C
Substituindo de volta u = cosh x, a resposta final é:
-13 cosh^3 x + C

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