Calcule as derivadas parciais de
ordem da função
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = e^{x} \cdot \tan\left(\frac{x{2}}{y{2}}\right) $. Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é uma parte da matemática que estuda como uma função muda quando uma de suas variáveis muda, mantendo a outra constante. Vamos precisar usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. A função $ f(x, y) $ é um produto de duas funções: $ e^{x} $ e $ \tan\left(\frac{x{2}}{y{2}}\right) $. Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que:
Aqui, $ u = e^{x} $ e $ v = \tan\left(\frac{x{2}}{y{2}}\right) $.
Passo 3
Vamos derivar $ u = e^{x} $ em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, derivamos $ v = \tan\left(\frac{x{2}}{y{2}}\right) $ em relação a $ x $. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada da tangente é:
Aqui, $ z = \frac{x{2}}{y{2}} $. Então, primeiro derivamos $ z $ em relação a $ x $:
Portanto:
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Simplificando, podemos fatorar $ e^{x} $:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Novamente, usamos a regra do produto:
Aqui, $ e^{x} $ é tratado como uma constante em relação a $ y $.
Passo 8
Derivamos $ \tan\left(\frac{x{2}}{y{2}}\right) $ em relação a $ y $ usando a regra da cadeia:
onde $ z = \frac{x{2}}{y{2}} $. Derivando $ z $ em relação a $ y $:
Passo 9
Substituindo de volta:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = e^{x} \cdot \tan\left(\frac{x{2}}{y{2}}\right) $ são:
e