Calcule as derivadas parciais de 1^a ordem da função f(x, y)=e^x cdot tg(x^2y^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = e^{x} \cdot \tan\left(\frac{x{2}}{y{2}}\right) $. Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é uma parte da matemática que estuda como uma função muda quando uma de suas variáveis muda, mantendo a outra constante. Vamos precisar usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. A função $ f(x, y) $ é um produto de duas funções: $ e^{x} $ e $ \tan\left(\frac{x{2}}{y{2}}\right) $. Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que:
f
Aqui, $ u = e^{x} $ e $ v = \tan\left(\frac{x{2}}{y{2}}\right) $.

Passo 3

Vamos derivar $ u = e^{x} $ em relação a $ x $:
u = e^x

Passo 4

Agora, derivamos $ v = \tan\left(\frac{x{2}}{y{2}}\right) $ em relação a $ x $. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada da tangente é:
v = tan(x^2y^2)
Aqui, $ z = \frac{x{2}}{y{2}} $. Então, primeiro derivamos $ z $ em relação a $ x $:
x
Portanto:
ddx tan(z) = sec^2(z) cdot dzdx

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
partial fpartial x = u' cdot v + u cdot v' = e^x cdot tan(x^2y^2) + e^x cdot sec^2(x^2y^2) cdot 2xy^2

Passo 6

Simplificando, podemos fatorar $ e^{x} $:
e^x

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Novamente, usamos a regra do produto:
f
Aqui, $ e^{x} $ é tratado como uma constante em relação a $ y $.

Passo 8

Derivamos $ \tan\left(\frac{x{2}}{y{2}}\right) $ em relação a $ y $ usando a regra da cadeia:
tan(x^2y^2)
onde $ z = \frac{x{2}}{y{2}} $. Derivando $ z $ em relação a $ y $:
y

Passo 9

Substituindo de volta:
ddy tan(x^2y^2) = sec^2(x^2y^2) cdot ( -2x^2y^3 )
Portanto:
partial fpartial y = e^x cdot ( -2x^2y^3 cdot sec^2(x^2y^2) )

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = e^{x} \cdot \tan\left(\frac{x{2}}{y{2}}\right) $ são:
f(x, y) = e^x cdot tan(x^2y^2)
e
partial fpartial x = e^x [ tan(x^2y^2) + 2xy^2 cdot sec^2(x^2y^2) ]

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