Determine, caso existam, os seguintes limites:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, $ x $ e $ y $, tendendo a $ (0,0) $. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com limites multivariáveis, que é um tópico de cálculo. Para resolver, precisamos entender como a função se comporta conforme $ x $ e $ y $ se aproximam de zero. Vamos verificar se o limite existe ou se depende do caminho que escolhemos para chegar a $ (0,0) $.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão para ver se conseguimos identificar algum padrão ou cancelar termos. A função dada é:
Não há termos que possamos simplificar diretamente, então vamos testar diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 3
Vamos começar testando o caminho onde $ y = 0 $. Substituindo $ y = 0 $ na expressão:
Então, ao longo do eixo $ x $, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos testar o caminho onde $ x = 0 $. Substituindo $ x = 0 $ na expressão:
Então, ao longo do eixo $ y $, o limite também é 0.
Passo 5
Vamos tentar um caminho mais geral, onde $ y = k x^{2} $, onde $ k $ é uma constante. Substituindo $ y = k x^{2} $ na expressão:
Aqui, vemos que o limite depende do valor de $ k $. Por exemplo:
- Se $ k = 1 $, o limite é $ \frac{4}{3} $.
- Se $ k = 0 $, o limite é 0.
Isso significa que o limite depende do caminho escolhido para chegar a $ (0,0) $.
Passo 6
Como encontramos diferentes valores para o limite dependendo do caminho escolhido, isso indica que o limite não existe. Para o limite existir em duas dimensões, ele precisa ser o mesmo independentemente do caminho seguido para chegar ao ponto.
Resposta
O limite não existe porque assume valores diferentes dependendo do caminho escolhido para $ (x, y) $ se aproximar de $ (0,0) $.