Determine, caso existam, os seguintes limites:
lim (x, y) (0,0) 4 x^2 yx^4+2 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, $ x $ e $ y $, tendendo a $ (0,0) $. O enunciado é:
x
Aqui, estamos lidando com limites multivariáveis, que é um tópico de cálculo. Para resolver, precisamos entender como a função se comporta conforme $ x $ e $ y $ se aproximam de zero. Vamos verificar se o limite existe ou se depende do caminho que escolhemos para chegar a $ (0,0) $.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão para ver se conseguimos identificar algum padrão ou cancelar termos. A função dada é:
4 x^2 yx^4+2 y^2
Não há termos que possamos simplificar diretamente, então vamos testar diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 3

Vamos começar testando o caminho onde $ y = 0 $. Substituindo $ y = 0 $ na expressão:
y = 0
Então, ao longo do eixo $ x $, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos testar o caminho onde $ x = 0 $. Substituindo $ x = 0 $ na expressão:
x = 0
Então, ao longo do eixo $ y $, o limite também é 0.

Passo 5

Vamos tentar um caminho mais geral, onde $ y = k x^{2} $, onde $ k $ é uma constante. Substituindo $ y = k x^{2} $ na expressão:
y = k x^2
Aqui, vemos que o limite depende do valor de $ k $. Por exemplo:
  • Se $ k = 1 $, o limite é $ \frac{4}{3} $.
  • Se $ k = 0 $, o limite é 0.
Isso significa que o limite depende do caminho escolhido para chegar a $ (0,0) $.

Passo 6

Como encontramos diferentes valores para o limite dependendo do caminho escolhido, isso indica que o limite não existe. Para o limite existir em duas dimensões, ele precisa ser o mesmo independentemente do caminho seguido para chegar ao ponto.

Resposta

O limite não existe porque assume valores diferentes dependendo do caminho escolhido para $ (x, y) $ se aproximar de $ (0,0) $.

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