partial Vpartial r=2 Vr
  1. Determine as equações paramétricas para a reta tangente em (1,3,3) para a curva de interseção da superfície z=x^2 y e
    (a) o plano x=1

Passo 1

Resumimos o enunciado: a curva de interesse é a interseção da superfície z = x^2 y com o plano x = 1, e queremos a reta tangente a essa curva no ponto (1,3,3).

Passo 2

Definimos as funções de nível
F(x,y,z) = z - x^2 y,
G(x,y,z) = x - 1
Então calculamos os gradientes:
nabla F = l(partial Fpartial x,,partial Fpartial y,,partial Fpartial zr) = (-2xy,,-x^2,,1)
nabla G = (1,,0,,0)

Passo 3

No ponto (1,3,3) temos
nabla F(1,3,3) = (-6,,-1,,1), nabla G(1,3,3) = (1,,0,,0)
Procuramos um vetor direção v=(vx,vy,vz) tal que
v cdot nabla G = 0 Rightarrow vx = 0,
v cdot nabla F = 0 Rightarrow -6vx - vy + vz = 0 ; Rightarrow; -vy + vz = 0 ; Rightarrow; vz = vy
Assim, podemos escolher v=(0,1,1).

Passo 4

Com o vetor direção v=(0,1,1) e o ponto (1,3,3), as equações paramétricas da reta tangente são dadas por
r(t) = (1,3,3) + t,(0,1,1)
Isso equivale a:
x = 1, y = 3 + t, z = 3 + t

Resposta

As equações paramétricas são x=1, y=3+t e z=3+t.

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