Se z=e^y cos (x y), onde x=s^2 t e y=s t^2, determine partial zpartial s e partial zpartial t através da regra da cadeia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de $ z = e^{y} \cos(x y) $ em relação a $ s $ e $ t $, sabendo que $ x = s^{2} t $ e $ y = s t^{2} $. Isso está dentro do conteúdo de derivadas parciais e da regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas. Vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia para funções com várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em encontrar $ \frac{\partial z}{\partial s} $. Para isso, usamos a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis. A regra basicamente diz que a derivada de $ z $ em relação a $ s $ é a soma das derivadas parciais de $ z $ em relação a cada variável intermediária ($ x $ e $ y $) multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a $ s $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias:
  1. Derivada de $ z $ em relação a $ x $:
    z
    Aqui, usamos a regra da derivada da função composta $ \cos(u) $, cuja derivada é $ -\sin(u) \cdot u’ $.
  2. Derivada de $ x $ em relação a $ s $:
    x
  3. Derivada de $ z $ em relação a $ y $:
    partial zpartial x = partialpartial x ( e^y cos(x y) ) = e^y cdot (-y sin(x y))
    Aqui, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia.
  4. Derivada de $ y $ em relação a $ s $:
    cos(u)

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para $ \frac{\partial z}{\partial s} $:
partial zpartial s
Substituindo as derivadas que calculamos:
partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s

Passo 5

Simplificando a expressão:
partial zpartial s = -2 s t e^y y sin(x y) + t^2 e^y cos(x y) - t^2 e^y x sin(x y)
Podemos fatorar $ e^{y} $ e $ \sin(x y) $ se quisermos, mas essa é a forma completa da derivada.

Passo 6

Agora, vamos encontrar $ \frac{\partial z}{\partial t} $ seguindo o mesmo processo:
  1. Derivada de $ x $ em relação a $ t $:
    partial zpartial t
  2. Derivada de $ y $ em relação a $ t $:
    x

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia para $ \frac{\partial z}{\partial t} $:
partial zpartial t
Substituindo as derivadas:
partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t

Passo 8

Simplificando a expressão:
partial zpartial t = -s^2 e^y y sin(x y) + 2 s t e^y cos(x y) - 2 s t e^y x sin(x y)
Novamente, podemos fatorar $ e^{y} $ e $ \sin(x y) $ se desejar, mas essa é a forma completa da derivada.

Resposta

As derivadas parciais de $ z $ são:
z
e
partial zpartial s = -2 s t e^y y sin(x y) + t^2 e^y cos(x y) - t^2 e^y x sin(x y)

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