Se
, onde
e
, determine
e
através da regra da cadeia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de $ z = e^{y} \cos(x y) $ em relação a $ s $ e $ t $, sabendo que $ x = s^{2} t $ e $ y = s t^{2} $. Isso está dentro do conteúdo de derivadas parciais e da regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas. Vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia para funções com várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos focar em encontrar $ \frac{\partial z}{\partial s} $. Para isso, usamos a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis. A regra basicamente diz que a derivada de $ z $ em relação a $ s $ é a soma das derivadas parciais de $ z $ em relação a cada variável intermediária ($ x $ e $ y $) multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a $ s $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias:
-
Derivada de $ z $ em relação a $ x $:Aqui, usamos a regra da derivada da função composta $ \cos(u) $, cuja derivada é $ -\sin(u) \cdot u’ $.
-
Derivada de $ x $ em relação a $ s $:
-
Derivada de $ z $ em relação a $ y $:Aqui, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia.
-
Derivada de $ y $ em relação a $ s $:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra da cadeia para $ \frac{\partial z}{\partial s} $:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar $ e^{y} $ e $ \sin(x y) $ se quisermos, mas essa é a forma completa da derivada.
Passo 6
Agora, vamos encontrar $ \frac{\partial z}{\partial t} $ seguindo o mesmo processo:
-
Derivada de $ x $ em relação a $ t $:
-
Derivada de $ y $ em relação a $ t $:
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia para $ \frac{\partial z}{\partial t} $:
Substituindo as derivadas:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Novamente, podemos fatorar $ e^{y} $ e $ \sin(x y) $ se desejar, mas essa é a forma completa da derivada.
Resposta
As derivadas parciais de $ z $ são:
e