b)
Calcule as derivadas parciais de
ordem da função
.
Passo 1
A função dada é
. Precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
. Para isso, vamos usar a regra do produto (pois
é produto de
e
) e a regra da cadeia (para derivar o cosseno de uma função).
Passo 2
Para encontrar
, tratamos
como constante e aplicamos a regra do produto:
Primeiro, derivada de
:
Segundo, derivada de
usando regra da cadeia:
E
Juntando tudo pela regra do produto:
e simplificando o sinal negativo duplo.
Passo 3
Para encontrar
, tratamos
como constante. A única parte que depende de
é
. Aplicamos a regra da cadeia:
Como
é constante,
Logo,
Resposta
[\tfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\tfrac{1}{x}\cos\bigl(\tfrac{2y2}{x}\bigr)+\ln(x),\tfrac{2y2}{x2}\sin\bigl(\tfrac{2y2}{x}\bigr),\
\tfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\ln(x),\tfrac{4y}{x}\sin\bigl(\tfrac{2y^2}{x}\bigr).]
\tfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\ln(x),\tfrac{4y}{x}\sin\bigl(\tfrac{2y^2}{x}\bigr).]