b) (0,8) Calcule as derivadas parciais de 1^ a ordem da função f(x, y)=ln (x) cdot cos (2 y^2x).

Passo 1

A função dada é f(x,y)=ln(x)cdotcosl(tfrac2y^2xr). Precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e y. Para isso, vamos usar a regra do produto (pois f é produto de ln(x) e cos(2y^2/x)) e a regra da cadeia (para derivar o cosseno de uma função).

Passo 2

Para encontrar partial fpartial x, tratamos y como constante e aplicamos a regra do produto:
Primeiro, derivada de ln(x):
ddxln(x)=1x
Segundo, derivada de cosl(tfrac2y^2xr) usando regra da cadeia:
ddxcosl(tfrac2y^2xr)=-sinl(tfrac2y^2xr)cdotddxl(tfrac2y^2xr)
E
ddxl(tfrac2y^2xr)=-2y^2x^2
Juntando tudo pela regra do produto:
partial fpartial x=1xcosl(tfrac2y^2xr)+ln(x)cdotl(-sinl(tfrac2y^2xr)cdotl(-tfrac2y^2x^2r)r)
e simplificando o sinal negativo duplo.

Passo 3

Para encontrar partial fpartial y, tratamos x como constante. A única parte que depende de y é cos(2y^2/x). Aplicamos a regra da cadeia:
partialpartial ycosl(tfrac2y^2xr)=-sinl(tfrac2y^2xr)cdotpartialpartial yl(tfrac2y^2xr)
Como x é constante,
partialpartial yl(tfrac2y^2xr)=4yx
Logo,
partial fpartial y=ln(x)cdotl(-sinl(tfrac2y^2xr)cdottfrac4yxr)

Resposta

[\tfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\tfrac{1}{x}\cos\bigl(\tfrac{2y2}{x}\bigr)+\ln(x),\tfrac{2y2}{x2}\sin\bigl(\tfrac{2y2}{x}\bigr),\
\tfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\ln(x),\tfrac{4y}{x}\sin\bigl(\tfrac{2y^2}{x}\bigr).]

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