Convergência / divergência de séries.
sumn=1^infty nn^2+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série e queremos saber se ela converge ou diverge. Vamos usar o conteúdo de Convergência/Divergência de Séries e, para isso, vamos precisar entender e aplicar alguns testes de comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Observando os termos, percebemos que para bem grande, o no denominador é menos significativo, então a fração se comporta aproximadamente como .

Passo 3

Agora, sabemos que a série é a famosa série harmônica, que diverge. Isso nos dá uma pista: se nossa série original se comporta como uma série que diverge, talvez a nossa também diverja.

Passo 4

Vamos usar o Teste da Comparação. Comparando nn^2+5 > nn^2+n^2 = n2n^2 = 12n com , temos:
Como também é uma série harmônica e diverge, pelo teste da comparação, nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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